ВЫЧЕТ

аналитической функции f(z) одного комплексного переменного в конечной изолированной особой точке аоднозначного характера - коэффициент ВЫЧЕТ фото №1 при ВЫЧЕТ фото №2 в разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд).в окрестности точки а, или равный ему интеграл

ВЫЧЕТ фото №3

где ВЫЧЕТ фото №4 - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке а. В. обозначается ВЫЧЕТ фото №5 (либо Выч. ВЫЧЕТ фото №6 ).

Теория вычетов опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть /(z) - однозначная аналитич. функция всюду в односвяз-ной области G, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от f(z) по любой простой замкнутой спрямляемой кривой g, лежащей в области G и не проходящей через особые точки функции f(z), вычисляется но формуле

ВЫЧЕТ фото №7

где ВЫЧЕТ фото №8 - особые точки функции ВЫЧЕТ фото №9 , попавшие внутрь ВЫЧЕТ фото №10 .

Вычет функции в бесконечно удаленной точке ВЫЧЕТ фото №11 для функции ВЫЧЕТ фото №12 , однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой

ВЫЧЕТ фото №13

где ВЫЧЕТ фото №14 - окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а ВЫЧЕТ фото №15 - коэффициент при ВЫЧЕТ фото №16 в разложении Лорана функции ВЫЧЕТ фото №17 в окрестности этой точки.

Из теоремы о В.вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z)- однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции ВЫЧЕТ фото №18 , включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть ВЫЧЕТ фото №19 - полюс порядка тфункции ВЫЧЕТ фото №20 , тогда

ВЫЧЕТ фото №21

При m=1 (простой полюс) эта формула принимает вид

ВЫЧЕТ фото №22

если ВЫЧЕТ фото №23 регулярны в окрестности точки а, причем для ВЫЧЕТ фото №24 точка аесть простой нуль, то

ВЫЧЕТ фото №25 .

Применение теоремы о В. к логарифмич. производной приводит к важной теореме о логарифмическом вычете: если функция ВЫЧЕТ фото №26 мероморфна в односвязной области G, а простая замкнутая кривая ВЫЧЕТ фото №27 лежит в Gи не проходит через нули и полюсы функции ВЫЧЕТ фото №28 , то

ВЫЧЕТ фото №29

где N - число нулей, Р - число полюсов функции ВЫЧЕТ фото №30 внутри ВЫЧЕТ фото №31 с учетом их кратностей. Выражение в левой части этой формулы наз. логарифмическим вычетом функции относительно кривой ВЫЧЕТ фото №32 (см. также Аргумента принцип).

В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций, таких, напр., как

ВЫЧЕТ фото №33

где ВЫЧЕТ фото №34 -рациональная функция от ВЫЧЕТ фото №35 непрерывная при ВЫЧЕТ фото №36 - непрерывная функция при ВЫЧЕТ фото №37 где ВЫЧЕТ фото №38 - мнимая часть z, и аналитическая при ВЫЧЕТ фото №39 кроме конечного числа особых точек. При этом ВЫЧЕТ фото №40 подстановкой ВЫЧЕТ фото №41 сводится к контурному интегралу

ВЫЧЕТ фото №42

т. е. к вычислению В.;

ВЫЧЕТ фото №43

если ВЫЧЕТ фото №44

ВЫЧЕТ фото №45

если f (z) удовлетворяет условиям Жордана леммы.

В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. родолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих др. вопросах анализа и его приложений (см. |1] - [4]).

Теория В. одного переменного разработана в основном О. Коши (A. Cauchy) в 1825 - 29. Ряд результатов, относящихся к обобщениям теории В. и ее приложениям, был получен Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, теорема о сумме В. двоякопериодической функции), П. Лораном (P. Laurent), Ю. В. Сохоцким, Э. Линделёфом ВЫЧЕТ фото №46 и др.

На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитических дифференциалов (см. [5]). Вычет аналитического дифференциала ВЫЧЕТ фото №47 в окрестности его изолированной особой точки определяется как коэффициент ВЫЧЕТ фото №48 при ВЫЧЕТ фото №49 в разложении Лорана функции ВЫЧЕТ фото №50 где ВЫЧЕТ фото №51 - униформизирующий параметр в окрестности этой точки. При этом интеграл от dZ но любой замкнутой кривой на римановой поверхности выражается через В. дифференциала dZ и через его циклические периоды (интегралы от dZ по каноническим разрезам]. На рпмановы поверхности распространяется теорема о полной сумме В.: сумма всех В. мероморфного дифференциала на компактной римановой поверхности равна нулю.

Теория вычетов аналитических функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши - Пуанкаре, позволяющих заменять интеграл от замкнутой формы по одному циклу интегралом от этой формы по другому циклу, гомологичному первому. Начало теории В. функции многих переменных положил А. Пуанкаре [6], к-рый в 1887 впервые обобщил интегральную теорему Коши и понятие В. на функции двух комплексных переменных, показав, в частности, что интеграл от рациональной функции двух комплексных переменных по двумерному циклу, не проходящему через особенности подинтегральной функции, сводится к периодам абелевых интегралов, и применил двойные В. для обоснования двумерного аналога Лагранжа ряда.

Ж. Лере (J. Leray, см. [7], а также [4], [8]) разработал общую теорию В. на комплексном аналитич. многообразии X. Теория вычетов Лере, в частности, описывает метод вычисления интегралов по нек-рым циклам на Xот замкнутых внешних дифференциальных форм, имеющих особенности на аналитич. одмногообразиях. Вводится понятие вычет-формы, обобщающее понятие В. аналитич. функции одного переменного; получаемая при этом формула В. позволяет свести вычисление интеграла от формы w, имеющей на комплексном аналитич. одмногообразии Sполярную особенность 1-го порядка, по нек-рому циклу в ВЫЧЕТ фото №52 к вычислению интеграла на 1 меньшей размерности от вычет-формы ВЫЧЕТ фото №53 по циклу на S. Для вычисления интегралов от замкнутых форм, имеющих на Sпроизвольные особенности, важны понятие вычет-класса (см. Вычет-форма).и т е-орема Лере, согласно к-рой для любой замкнутой формы ВЫЧЕТ фото №54 найдется когомологичная ей форма шД, имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Для формы ВЫЧЕТ фото №55 , имеющей особенность на нескольких подмногообразиях ВЫЧЕТ фото №56 , используются кратные вычет-форма

ВЫЧЕТ фото №57

вычет-класс

ВЫЧЕТ фото №58

вычет-класс и формула В.

ВЫЧЕТ фото №59

где ВЫЧЕТ фото №60 - кратный оператор ВЫЧЕТ фото №61 - цикл в ВЫЧЕТ фото №62 ВЫЧЕТ фото №63

Имеется другой подход к теории В. функций многих комплексных переменных - метод выделения базы гомологии, опирающийся на идею Э. Мартинелли (Е. Martinelli) применения Александера двойственности (см. [9]). Пусть f (z), ВЫЧЕТ фото №64 - голоморфная функция в области ВЫЧЕТ фото №65 , а ВЫЧЕТ фото №66 есть n-мерный цикл в G. Если - база n-мерных гомологии области Gи ВЫЧЕТ фото №67

ВЫЧЕТ фото №68

- разложение апо этой базе, то обобщение теоремы о В. имеет вид

ВЫЧЕТ фото №69

где

ВЫЧЕТ фото №70

есть n-мерный аналог В. и наз. вычетом функции f (z) относительно базисного циклa s_v. В отличие от случая одной переменной, значительную трудность представляет отыскание как базы гомологии ВЫЧЕТ фото №71 , так и коэффициентов ВЫЧЕТ фото №72 разложения опо базе. В ряде случаев (напр., когда ВЫЧЕТ фото №73 ВЫЧЕТ фото №74 , где Р - многочлен) эти задачи позволяет решить двойственность Александера и Понтрягина. При этом коэффициенты ВЫЧЕТ фото №75 находятся как коэффициенты зацепления цикла ВЫЧЕТ фото №76 с циклами на множестве ВЫЧЕТ фото №77 (компактифицированном определенным образом), двойственными циклам ВЫЧЕТ фото №78 . Вычеты ВЫЧЕТ фото №79 в нек-рых случаях находятся как соответствующие коэффициенты разложения Лорана функции ВЫЧЕТ фото №80 .

Многомерные аналоги логарифмич. В. (см. [4], [12]) выражают число общих нулей (с учетом их кратностей) системы голоморфных функций ВЫЧЕТ фото №81 в области ВЫЧЕТ фото №82 через интегралы:

где ВЫЧЕТ фото №85 - нек-рый цикл в ВЫЧЕТ фото №86 В. функций многих переменных нашли применения при изучении фейнмановских интегралов, в комбинаторном анализе (см. [11]) и в теории неявных функций (см. [12]).

Лит.:[1]Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Евграфов М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; [3] Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969; [5] Спрингер Д., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [6] Роinсаre Н., "Acta math.", 1887, t. 9, 321-380; [7] Лере Ж., Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналитическом многообразии, пер. с франц., М., 1961; [8] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих переменных, М., 1962; [9] Южаков А. П., "Изв. ВУЗов. Матем.", 1964, М 5 (42), с. 149-61; [10] Gritfits P. A., "Ann. Math.", 1969, v. 90, № 3,p. 460-95; [11] Егорычев Г. П., Южаков А. П., "Сиб. матем. ж.", 1974, т. 15, № 5, 1049-60; [12] Южаков А. П., Элементы теории многомерных вычетов, Красноярск, 1975. А. П. Южаков.

Синонимы:

дизажио

Антонимы:

вознаграждение, добавление, надбавка, прибавок, прибавление, присовокупление, приход

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

ВЫЧЕТ

Синонимы слова "ВЫЧЕТ":

Смотреть что такое ВЫЧЕТ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: