ФУНКЦИОНАЛ

от марковского процесса - случайная величина или случайная функция, зависящая измеримым образом от траектории марковского процесса; условие измеримости варьируется в зависимости от конкретной ситуации. В общей теории марковских процессов принимается следующее определение Ф. Пусть в измеримом пространстве ФУНКЦИОНАЛ фото №1 задан необрывающийся однородный марковский процесс ФУНКЦИОНАЛ фото №2 с операторами временного сдвига ФУНКЦИОНАЛ фото №3 и пусть ФУНКЦИОНАЛ фото №4 -наименьшая из ФУНКЦИОНАЛ фото №5 -алгебр в пространстве элементарных событий, содержащих любое событие вида ФУНКЦИОНАЛ фото №6 где ФУНКЦИОНАЛ фото №7 - пересечение всех пополнений ФУНКЦИОНАЛ фото №8 по всевозможным мерам ФУНКЦИОНАЛ фото №9 Случайная функция ФУНКЦИОНАЛ фото №10 наз. функционалом от марковского процесса Х, если при каждом ФУНКЦИОНАЛ фото №11 величина ФУНКЦИОНАЛ фото №12 измерима относительно ФУНКЦИОНАЛ фото №13 -алгебры ФУНКЦИОНАЛ фото №14
Особый интерес представляют мультипликативные и аддитивные Ф. от марковских процессов. Первые из них выделяются условием ФУНКЦИОНАЛ фото №15 вторые - условием ФУНКЦИОНАЛ фото №16 причем функцию ФУНКЦИОНАЛ фото №17 считают непрерывной справа на ФУНКЦИОНАЛ фото №18 (с другой стороны, иногда приходится предполагать эти условия выполняющимися лишь Р _х -почти наверное для любых фиксированных ФУНКЦИОНАЛ фото №19 Соответствующие формулировки принимаются в случае обрывающихся и неоднородных процессов.Примеры аддитивных Ф. от марковского процесса ФУНКЦИОНАЛ фото №20 можно получить, приравняв ФУНКЦИОНАЛ фото №21 при ФУНКЦИОНАЛ фото №22 или к ФУНКЦИОНАЛ фото №23 или к сумме скачков случайной функции f(x_s )при ФУНКЦИОНАЛ фото №24 где f(х) - ограниченная и измеримая относительно ФУНКЦИОНАЛ фото №25 функция (второй и третий примеры корректны лишь при нек-рых дополнительных условиях). Переход от любого аддитивного Ф. ФУНКЦИОНАЛ фото №26 к ехр ФУНКЦИОНАЛ фото №27 доставляет пример мультипликативного Ф. В случае стандартного марковского процесса интересным и важным примером мультипликативного Ф. служит случайная функция, равная 1 при ФУНКЦИОНАЛ фото №28 и 0 при ФУНКЦИОНАЛ фото №29 где ФУНКЦИОНАЛ фото №30 -момент первого выхода Xиз нек-рого множества ФУНКЦИОНАЛ фото №31 ФУНКЦИОНАЛ фото №32
С мультипликативными Ф., подчиненными условию ФУНКЦИОНАЛ фото №33 связано одно естественное преобразование марковского процесса -переход к подпроцессу. По переходной функции Р(t, х, В )процесса ФУНКЦИОНАЛ фото №34 ФУНКЦИОНАЛ фото №35 строят новую

ФУНКЦИОНАЛ фото №36
причем может оказаться, что ФУНКЦИОНАЛ фото №37 в нек-рых точках ФУНКЦИОНАЛ фото №38 Новой переходной функции в ФУНКЦИОНАЛ фото №39 соответствует нек-рый марковский процесс ФУНКЦИОНАЛ фото №40 ФУНКЦИОНАЛ фото №41 к-рый вместе с исходным можно реализовать на одном и том же пространстве элементарных событий с одними и теми же мерами ФУНКЦИОНАЛ фото №42 причем так, что ФУНКЦИОНАЛ фото №43 при ФУНКЦИОНАЛ фото №44 и что ФУНКЦИОНАЛ фото №45 -алгебра ФУНКЦИОНАЛ фото №46 является следом ФУНКЦИОНАЛ фото №47 -алгебры ФУНКЦИОНАЛ фото №48 в множестве ФУНКЦИОНАЛ фото №49 Процесс ФУНКЦИОНАЛ фото №50 наз. подпроцессом марковского процесса X, получаемым в результате лубивания