РАСШИРЕНИЕ

о п е р а т о р а - линейный оператор, график к-рого содержит график данного линейного оператора. Тот факт, что оператор Весть Р. оператора А, записывается в виде АМ В. Обычные задачи теории Р.: максимально расширить оператор, сохраняя определенное свойство, или изучить Р. оператора, обладающие нек-рым дополнительным свойством.

Пусть, напр., дан изометрич. оператор Ав гильбертовом пространство Нс областью определения D(А)МНи областью значений R(A)МH; тогда изометрические Р. оператора Анаходятся во взаимно однозначном соответствии с изометрич. отображениями из РАСШИРЕНИЕ фото №1 в РАСШИРЕНИЕ фото №2 . В частности, Аимеет унитарные Р., когда размерности РАСШИРЕНИЕ фото №3 и РАСШИРЕНИЕ фото №4 совпадают.

Р а с ш и р е н и я с и м м е т р и ч е с к и х о п ер а т о р о в. Наиболее развитой (и важной для приложений) является теория самосопряженных Р. симметрия, операторов в гильбертовом пространстве. Оператор Тявляется симметрическим тогда и только тогда, когда ТМ Т*, где Т*- сопряженный к Топератор. Поэтому область определения любого симметрического Р. оператора Тсодержится в D( Т*), и это Р. есть с у-ж е н и е оператора Т*. Тем самым описание симметрических Р. сводится к нахождению их областей определения. Подпространство LМD( Т* )является областью определения нек-рого симметрического Р.оператора Ттогда и только тогда, когда для любых РАСШИРЕНИЕ фото №6 . Оказывается, что

РАСШИРЕНИЕ фото №7

где РАСШИРЕНИЕ фото №8 - д е ф е к т н ы е п о д п р о с тр а н с т в а (их размерности РАСШИРЕНИЕ фото №9 наз. д е-ф е к т н ы м и ч и с л а м и), и симметрические Р. оператора Тнаходятся во взаимно однозначном соответствии с изометрич. отображениями из РАСШИРЕНИЕ фото №10 в РАСШИРЕНИЕ фото №11 : каждому такому отображению V соответствует Р. оператора Тс областью определения , где Гv - график оператора V. Самосопряженные Р. соответствуют унитарным операторам Vи, следовательно, существуют тогда и только тогда, когда дефектные числа равны. Области определения Р. симметрич. операторов удобно описывать с помощью т. н. (абстрактных) граничных условий. Г р а н и ч н ы м з н а ч е н и е м для симметрич. оператора Тназ. всякий линейный функционал на D( Т*), непрерывный относительно нормы РАСШИРЕНИЕ фото №13 РАСШИРЕНИЕ фото №14 и равный нулю на D(Т);г р а н и ч н ы м у с л о в и е м наз. уравнение f(x) = 0, где f - граничное значение. Граничные значения определяются своими значениями на РАСШИРЕНИЕ фото №15 . Если дефектные числа симметрич. оператора Т конечны, то всякое его симметрич. расширение РАСШИРЕНИЕ фото №16 определяется семейством граничных условий, то есть РАСШИРЕНИЕ фото №17 , где f_i - граничные значения. Семейства граничных значений, определяющие самосопряженные Р. оператора Тсдефектными числами РАСШИРЕНИЕ фото №18 , описываются следующим образом. Пусть j₁, ... , j_n - ортонормированный базис в РАСШИРЕНИЕ фото №19 , а РАСШИРЕНИЕ фото №20 ^_ и пусть для РАСШИРЕНИЕ фото №21

РАСШИРЕНИЕ фото №22

Тогда всякое самосопряженное расширение РАСШИРЕНИЕ фото №23 оператора Топределяется граничными условиями

РАСШИРЕНИЕ фото №24

где РАСШИРЕНИЕ фото №25 - унитарная РАСШИРЕНИЕ фото №26 -матрица.

В нек-рых случаях удается установить существование самосопряженных Р. (и найти нек-рые из них), не решая трудной задачи нахождения дефектных подпространств и дефектных чисел. Напр., если Т коммутирует с (антиунитарной) инволюцией пространства H, то он допускает самосопряженное Р. Это часто используется в теории дифференциальных операторов, где в качестве инволюции берется комплексное сопряжение пространства РАСШИРЕНИЕ фото №27 . Равенство дефектных чисел имеет место и в том случае, когда на действительной оси есть точки регулярного типа оператора Т (точка l. наз. т о ч к о й р е г у л я р н о г о т и п а, если РАСШИРЕНИЕ фото №28 при нек-ром с>0 и для всех РАСШИРЕНИЕ фото №29 ).

Р а с ш и р е н и я п о л у о г р а н и ч е н н ы х о п е р а т о р о в. Оператор Тназ. п о л у о г р а н и-ч е н н ы м с н и з у числом РАСШИРЕНИЕ фото №30 , если его ч и с л о в а я о б л а с т ь РАСШИРЕНИЕ фото №31 лежит в интервале РАСШИРЕНИЕ фото №32 ; оператор, полуограниченный снизу нулем, наз. п о л о ж и т е л ь н ы м. Если Тполуограничен снизу числом а, то все числа lформа РАСШИРЕНИЕ фото №33 , определенная на РАСШИРЕНИЕ фото №34 , допускает замыкание РАСШИРЕНИЕ фото №35 . Но, как всякой замкнутой симметричной билинейной форме, форме РАСШИРЕНИЕ фото №36 соответствует единственный самосопряженный оператор РАСШИРЕНИЕ фото №37 такой, что РАСШИРЕНИЕ фото №38 РАСШИРЕНИЕ фото №39 . Оператор РАСШИРЕНИЕ фото №40 наз. р а с ш и р е н и е м Ф р и д р и х с а оператора Т, он полуограничен, и нижняя грань его спектра равна нижней грани числовой области оператора Т. Это - единственное самосопряженное Р., область определения к-рого содержится в области определения формы РАСШИРЕНИЕ фото №41 . С помощью расширения Фридрихса можно описать другие полуограниченные Р. оператора Т(если дефектные числа оператора Тконечны, то все его самосопряженные Р. полуограничены). Для этого достаточно найти все положительные Р. положительных операторов (общий случай сводится к данному добавлением оператора, кратного единичному). Пусть Т - положительный оператор, РАСШИРЕНИЕ фото №42 , тогда положительные самосопряженные Р. оператора Тоднозначно соответствуют положительным ограниченным операторам Вв L:для каждого такого оператора Вподпространство РАСШИРЕНИЕ фото №43 - область определения соответствующего Р. (см. [4]).

Построение расширения Фридрихса обобщается на с е к т о р и а л ь н ы е о п е р а т о р ы, т. е. операторы, числовая область к-рых содержится в нек-ром угле РАСШИРЕНИЕ фото №44 ; существует Р., являющееся максимальным секториальным оператором, числовая область к-рого находится в том же угле и к-рое обладает свойством минимальности, аналогичным свойству расширения Фридрихса. Рассмотрен случай операторов, действующих из банахова пространства в сопряженное к нему (см. [5]).

Д и с с и п а т и в н ы е р а с ш и р е н и я. В нек-рых задачах возникает необходимость строить симметрические Р. симметрич. операторов. Типичный результат состоит в следующем. Оператор Аназ. д и с с и п а-т и в н ы м, если его числовая область лежит в левой полуплоскости, и м а к с и м а л ь н ы м д и с с и п а-т и в н ы м, если он диссипативен и не имеет диссипативных Р. Всякий симметрич. оператор имеет Р. вида iA, где А - максимальный диссипативный оператор; все такие Р. описываются с помощью сжимающих отображений РАСШИРЕНИЕ фото №45 в РАСШИРЕНИЕ фото №46 (см. [8]).

Р а с ш и р е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х o n e-р а т о р о в. Важные применения теория Р. операторов имеет при исследовании дифференциальных операторов. Пусть

РАСШИРЕНИЕ фото №47

- формально самосопряженное дифференциальное выражение на интервале (a, b); пусть РАСШИРЕНИЕ фото №48 - подпространство, состоящее из всех функций с абсолютно непрерывными квазипроизводными порядков 0, 1, ... , 2 п-1 и 2n-й квазипроизводной, принадлежащей РАСШИРЕНИЕ фото №49 РАСШИРЕНИЕ фото №50 , где D₀ - подпространство в D, состоящее из функции, носители к-рых не содержат концов интервалов. Формула Ту=l (у)при РАСШИРЕНИЕ фото №51 определяет оператор Т;пусть Т'₀ - его сужение на D₀. Оператор T'₀- симметрический, РАСШИРЕНИЕ фото №52 и пусть Т ₀=Т'₀ -его замыкание. Область определения оператора Т ₀ в регулярном случае (т. е. когда интервал ( а, b )конечен и функция РАСШИРЕНИЕ фото №53 суммируема) образована всеми функциями из D, первые 2n-1 квазипроизводных к-рых обращаются в 0 на концах интервала. В сингулярном случае D(T₀ )описывается более сложно (см. [2]). Дефектные числа оператора Т ₀ равны, причем в регулярном случае они равны 2n, а в сингулярном - не превосходят 2n. Таким образом, Т ₀ всегда обладает самосопряженными Р.; их спектры, спектральные разложения и резольвенты являются основными объектами теории дифференциальных операторов, поскольку выбор того или иного самосопряженного Р. является фактически точной постановкой нек-рой спектральной задачи. Это особенно наглядно проявляется в регулярном случае: (абстрактные) граничные условия, задающие область определения самосопряженного Р. оператора Т ₀, записывается тогда в виде обычных граничных условий:

РАСШИРЕНИЕ фото №54

где РАСШИРЕНИЕ фото №55 - набор чисел (такое описание следует из вышеприведенного описания (абстрактных) граничных условий, поскольку в регулярном случае определены

граничные значения РАСШИРЕНИЕ фото №56

При р ₀ (х)>0оператор Т ₀ является полуограниченным снизу, и его расширение Фридрихса соответствует граничным условиям РАСШИРЕНИЕ фото №57

В общем случае самосопряженные Р. оператора Т ₀ можно описать следующим образом. Пусть

РАСШИРЕНИЕ фото №58

для любых функций уи z из D;тогда существуют пределы

РАСШИРЕНИЕ фото №59

причем

РАСШИРЕНИЕ фото №60

(ф о р м у л а Л а г р а н ж а). Поэтому для описания самосопряженных Р. оператора T₀ достаточно выбрать базисы j_l ... , j_n и РАСШИРЕНИЕ фото №61 в дефектных подпространствах РАСШИРЕНИЕ фото №62 и РАСШИРЕНИЕ фото №63 (удобно считать, что РАСШИРЕНИЕ фото №64 ) и каждой унитарной матрице РАСШИРЕНИЕ фото №65 поставить в соответствие самосопряженное расширение T_q, область определения к-рого состоит из всех функций РАСШИРЕНИЕ фото №66 , удовлетворяющих граничным условиям

РАСШИРЕНИЕ фото №67

где

РАСШИРЕНИЕ фото №68

Р а с ш и р е н и я, о т в е ч а ю щ и е к р а е в ы м з а д а ч а м. Р. полуограниченных операторов играют центральную роль в теории эллиптических краевых задач. Пусть, напр., l(у) - эллиптическое дифференциальное выражение 2-го порядка в области G n-мерного пространства и пусть РАСШИРЕНИЕ фото №69 - минимальный и максимальный операторы, определенные этим выражением. Тогда оператор А ₀ положительно определен, его дефектные числа бесконечны и дефектное подпространство L₀=Ker А (оно наз. п р о с т р а н с т в о м l - га р м о н и ч е . с ки х ф у н к ц и й в G) допускает естественную реализацию в виде пространства функций на границе РАСШИРЕНИЕ фото №70 области G. Таким образом, различные Р. оператора А ₀. соответствуют тем или иным граничным условиям и определяют различные краевые задачи. В частности, расширение Фридрихса РАСШИРЕНИЕ фото №71 определено на всех функциях из пространства Соболева РАСШИРЕНИЕ фото №72 , обращающихся в нуль на РАСШИРЕНИЕ фото №73 , и уравнение РАСШИРЕНИЕ фото №74 соответствует задаче Дирихле:

РАСШИРЕНИЕ фото №75

Теория уравнений с частными производными диктует постановку многих общих задач о Р. симметрич. операторов. Среди них задачи об условиях единственности самосопряженного Р. (т. н. с у щ е с т в е н н а я с а м о с о п р я ж е н н о с т ь), о существовании коммутирующих Р. у коммутирующих (в том или ином смысле) симметрич. операторов, о существовании промежуточных Р. с заданными свойствами (напр., с условиями на спектр) и т. д. (см. [7] - [9]).

Р а с ш и р е н и я с в ы х о д о м и з г и л ь б е р т о в а п р о с т р а н с т в а. Всякий симметрич. оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, может быть расширен до самосопряженного оператора, действующего в нек-ром пространстве H₁ ЙH(см. [10]), откуда следует существование у всякого симметрич. оператора обобщенной спектральной функции. С этим также связаны различные результаты о Р. с выходом из пространства и дилатациях (см. [11]). Так, всякое с ж а т и е, т. е. оператор с нормой РАСШИРЕНИЕ фото №76 , гильбертова пространства может быть расширено до коизометрического (т. е. сопряженного к изометрическому) оператора; всякое сжатие, степени к-рого сильно сходятся к нулю, может быть расширено до обратного одностороннего сдвига (т. о. сопряженного к одностороннему сдвигу). Результаты о Р. с выходом из пространства обобщаются на коммутативные семейства, полугруппы и т. д.

Лит.:[1] Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж.- Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 2, М., 1966; [2] Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [3] К а т о Т., Теория возмущения линейных операторов, пер. с англ., М., 1972; [4] К р е й н М. Г.,"Матем. сб."., 1947, т. 20, с. 431-98, т. 21, с. 365-404; [5] Б и р м а н М. Ш., там же, 1956, т. 38, с. 431-50; [6] Ф и л л и п с Р. С., "Математика", 1962, т. 6, № 4, с. 11-70; [7] М о р е н К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [8] Б е р е з а н с к и й Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; [9] М и х л и н С. Г., Проблема минимума квадратичного функционала, М.- Л., 1952; [10] Н а й м а р к М. А .,"Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1940, т. 4, с. 277-318; [11] С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б., Ф о я ш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970; [12] В r о w n L., D о u g I a s R., F i l-l m о r е Р., в кн.: Ргос. Conference operator theory, В.- [а.

А. II. Логинов, В. С. Шулъман.

Синонимы:

возрастание, дилатация, елмань, иррадиация, клеш, набухание, наращение, наращивание, паректазис, разбуравливание, разбухание, разверчивание, развитие, раздувание, разрастание, разращение, расколачивание, раскрытие, распространение, распушка, рассверливание, рассверловка, расставка, растачивание, раструб, растягивание, растяжение, рост, увеличение, углубление, усиление, уширение, ширение, экспансия, эктазия, эскалация

Антонимы:

сужение, суживание

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИНЦИП →← РАСШИРЕНИЕ

РАСШИРЕНИЕ

Синонимы слова "РАСШИРЕНИЕ":

Смотреть что такое РАСШИРЕНИЕ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: