РАЗМЕРНОСТЬ

топологического пространства X - целочисленный инвариант dim X, определяемый следующим образом. Тогда и только тогда dim X = -1, когда . О непустом тополо-гич. пространстве Xговорят, что оно не более чем n-мерно, и пишут dim , если в любое конечное открытое покрытие пространства Xможно вписать конечное открытое покрытие пространства Xкратности . Если для нек-рого п=-1,0,1,. . ., то пространство Xназ. конечномерным, пишется и считается

При этом если dim X = n, то пространство наз. n-мерным. Понятие Р. топологич. пространства обобщает элементарно-геометрич. понятие числа измерений евклидова пространства (и полиэдра), т. к. размерность n-мерного евклидова пространства (и любого n-мерного полиэдра) равна n (теорема Брауэра - Лебега).

Важность понятия Р. топологич. пространства выявляется теоремой Нёбелинга - Понтрягина - Гуревича -Куратовского: n-мерное метризуемое со счетной базой пространство вкладывается в (2n+1)-мерное евклидово пространство. Таким образом, класс пространств, топологически эквивалентных подпространствам всевозможных n-мерных евклидовых пространств, n=1, 2,. . ., совпадает с классом конечномерных метризуемых пространств со счетной базой.

Размерность dim Xиногда наз.лебеговой, т. куб для любого e>0 обладает конечным замкнутым кратности покрытием с диаметром элементов 0>0, что кратность любого конечного замкнутого покрытия n-мерного куба , если диаметр элементов этого покрытия 0.

К определению Р. топологич. пространства возможен другой - индуктивный - подход (см. Индуктивная размерность), основанный на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Этот подход к понятию Р. восходит к А. Пуанкаре (Н. Poincare), Л. Брауэру (L. Brouwer), П. С. Урысону и К. Менгеру (К. Menger). В случае метризуемых пространств он эквивалентен лебеговскому.

Основы теории Р. были заложены в 1-й пол. 20-х гг. 20 в. в работах П. С. Урысона и К. Менгера. К кон. 30-х гг. была построена теория Р. метризуемых пространств со счетной базой, а к нач. 60-х гг.- теория Р. любых метризуемых пространств.

Ниже все рассматриваемые топологич. пространства считаются нормальными и хаусдорфовыми. В этом случае в определении Р. без ущерба вписываемые открытые покрытия можно заменить на замкнутые.

Лебегов подход к определению Р. (в отличие от индуктивного подхода) позволяет в случае любых рассматриваемых пространств геометризовать понятие Р. посредством сравнения исходного топологич. пространства с простейшими геометрич. образованиями - полиэдрами. Грубо говоря, пространство n-мерно тогда и только тогда, когда оно сколь угодно мало отличается от n-мерного полиэдра. Точнее, имеет место теорема Александрова об w-отображениях: тогда и только тогда , когда для любого конечного открытого покрытия и пространства Xсуществует w-отображение пространства Xна не более чем n-мерный, n=0,1,2,. . ., (компактный) полиэдр. Особую наглядность сформулированная теорема приобретает в случае компактов: для компакта Xтогда и только тогда dim , когда для любого e>0 существует e-отображение компакта на не более чем n-мерный полиэдр. Если еще Xлежит в евклидовом или гильбертовом пространстве, то e-отображение можно заменить e-сдвигом (теорема Александрова об e-о тображениях и e-сдвигах).

Следующее утверждение позволяет выяснить, какова Р. пространства, посредством его сравнения со всевозможными n-мерными кубами: тогда и только тогда dim , когда пространство обладает существенным отображением на n-мерный куб, n=0,1,2,. . . (теорема Александрова о существенных отображениях).

Этой теореме можно придать следующую форму. Тогда и только тогда , когда для любого замкнутого в Xмножества Аи любого непрерывного отображения в n-мерную сферу существует непрерывное продолжение , n=0,1,. . ., отображения f.

Следующая характеристика Р. указывает на роль этого понятия в вопросах существования решений систем уравнений: тогда и только тогда dim , n=1,2,..., когда в Xсуществует такая система дизъюнктных пар замкнутых множеств A_i, B_i, i=l,. . ., n, что для любых непрерывных на Xфункций f_i, удовлетворяющих условию ,. . ., п, найдется точка , в к-рой f_i(x) = 0, i=1,. . ., (т е о р е м а Отто - Эйленберга - Хеммингсена о перегородках).

Одно из важнейших свойств Р. выражает теорема суммы Менгера - Урысона - Чеха: если пространство Xесть конечная или счетная сумма своих замкнутых подмножеств размерности , то и , n=0,1,. . . В этой теореме можно условие конечности или счетности суммы заменить условием ее локальной конечности. Аналогичное теореме суммы утверждение для большой и малой индуктивных Р. не выполняется уже в классе бикомпактов. Следующие утверждения принадлежат к числу основных общих фактов теории Р. и позволяют сводить рассмотрение любых пространств к рассмотрению бикомпактов. Для любого нормального пространства

а) dim bX =dim X,Ind bX = Ind X, где b Х- максимальное бикомпактное расширение Стоуна -- Чеха пространства X;в то же время неравенство ind bХ> >ind X =Ind X возможно;

б) существует бикомпактное расширение bХ пространства X, вес к-рого равен весу , и размерность dim bХ равна размерности dim X;аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. Особенно интересен случай счетного веса пространства, т. к. в этом случае расширение bХ метризуемо.

Утверждение б) может быть усилено следующим предложением: для. любого n=0,1,. . . и любой бесконечной мощности существует бикомпакт веса и размерности , содержащий гомеоморфный образ любого нормального пространства Xвеса и размерности (теорема об универсальном бикомпакте данного веса и размерности). Аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. При этом в качестве можно взять канторово совершенное множество, а в качестве - менгеровскую универсальную кривую.

Казалось бы, что Р. должна обладать свойством монотонности: dim , если АМ Х. Это так, если а) множество Азамкнуто в Xили сильно паракомпактно, или б) пространство Xметризуемо (и даже совершенно нормально). Однако уже для подмножества Анаследственно нормального пространства Xможет быть dim A>dim Xи Ind A>Ind Х. Но всегда при АМ Х.

Одним из важнейших вопросов теории Р. является поведение Р. при непрерывных отображениях. В случае замкнутых отображений (к ним принадлежат и все непрерывные отображения бикомпактов) ответ дается формулами В. Гуревича (W. Hurewicz), полученными им первоначально в классе пространств со счетной базой.

Формула Гуревича для повышающих размерность отображений: если отображение непрерывно и замкнуто, то кратность , где кратность

Формула Гуревича для понижающих размерность отображений: для непрерывного замкнутого отображения на па-ракомпакт Yвыполняется неравенство

(1)

где

Для произвольного нормального пространства Yэта формула, вообще говоря, неверна.

В случае непрерывных отображений конечномерных компактов установлено, что непрерывное отображение f размерности dim f=k является суперпозицией kнепрерывных отображений размерности 1 (это - уточнение формулы (1) и аналог того факта, что k-мерный куб есть произведение kотрезков).

В случае открытых отображений можно показать, что образ нульмерного бикомпакта нульмерен и в то же время гильбертов кирпич есть образ одномерного компакта, даже если соответствующее отображение f имеет размерность dim f, равную нулю. Однако в случае открытого отображения бикомпактов Xи Yкратности выполняется равенство dim X=dim Y.

Поведение Р. при взятии топологич. произведения описывают следующие утверждения:

а) существуют такие конечномерные компакты Xи Y, что ;

б) если один из сомножителей произведения бикомпактен или метризуем, то ;

в) существуют такие нормальные пространства Xи Y, что

В случае бикомпактных Xи Y всегда , если . , но может быть . Если же бикомпакты XиYсовершенно нормальны или одномерны, то .

Наиболее содержательна теория Р. прежде всего в классе метрич. пространств со счетной базой и затем в классе любых метрич. пространств. В классе мет-рич. пространств со счетной базой выполняются равенства Урысона

dimX = indX = IndX. (2)

В классе любых метрич. пространств выполняется р а-венство Катетова

dimX = IndX (3)

и может быть ind X=0

В случае метрич. пространств понятие n-мерного пространства следующими двумя способами может быть сведено к понятию нульмерного пространства. Для метрич. пространства Xтогда и только тогда , n=0,1,. . ., когда

а) пространство X может быть представлено в виде не более чем n+1 нульмерных слагаемых;

б) существует непрерывное замкнутое отображение кратности нульмерного метрич. пространства на пространство X.

Для любого подмножества Аметрич. пространства Xнайдется такое подмножество типа в X, что dim B=dim A.

В классе метрич. пространств веса и размерности существует универсальное (в смысле вложений) пространство. Важную роль в построении теории Р. любых метрических (и более общих) пространств сыграла теорема Даукера: тогда и только тогда dim , когда в любое локально конечное открытое покрытие пространства X можно вписать открытое покрытие кратности

Одним из наиболее важных вопросов теории Р. является вопрос о соотношениях между лебеговой и индуктивными Р. Хотя для произвольного пространства Xзначения размерностей dim X,ind X,Ind X, вообще говоря, попарно различны, однако для нек-рых классов пространств, в том или ином смысле близких к метрическим, выполнено, напр., следующее:

а) если пространство Xобладает непрерывным замкнутым отображением f размерности dim f=0 на метрич. пространство, то выполняется равенство (3), отсюда следуют равенства (2) для локально бикомпактных групп и их факторпространств;

б) если существует непрерывное замкнутое отображение метрич. пространства на пространство X, то выполняются равенства (2).

Еще одно общее условие для выполнения равенства (3) для паракомпакта Xвыглядит так: dim X=n и пространство X является образом нульмерного пространства при замкнутом отображении кратности , n=0,1,. . .

В случае произвольного пространства X всегда выполняются неравенства , а равенства dim Х = 0 и IndX = 0 равносильны. Для сильно паракомпактного (в частности, бикомпактного или финально компактного) пространства X выполняется неравенство dim . Для бикомпактов равенства ind X=l и IndX = l равносильны. Существуют бикомпакты, удовлетворяющие первой аксиоме счетности (и даже совершенно нормальные в предположении континуум-гипотезы), для которых dim Х=1, ind X=n, n=2,3,. . . Построен пример топологич. однородного бикомпакта с dim X т, что для каждого n>m найдется бикомпакт (метрич. пространство) X с ind X=m,Ind X = n,- неизвестно (1983).

В случае неметризуемых пространств Р. может не только не быть монотонной, но и обладает другими патологич. свойствами. Для любого n=2,3,. . . построен пример такого бикомпакта , что любое замкнутое подмножество его имеет Р. или 0 или . Аналогичный пример в случае индуктивных Р. невозможен. Построен также для любого n=1,2,. . .пример такого бикомпакта , что любое разбивающее этот бикомпакт замкнутое множество имеет размерность n=dim . Таким образом, подход к определению Р. в случае неметризуемого пространства в принципе отличен от индуктивного подхода А. Пуанкаре, основанного на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Бикомпакты имеют непосредственное отношение к следующему утверждению: в любом n-мерном бикомпакте содержится n-мерное канторово многообразие.

Подмножество n-мерного евклидова пространства Е ^п тогда и только тогда n-мерно, когда оно содержит внутренние относительно Е ⁿ точки. Компакт имеет размерность тогда и только тогда, когда он обладает отображением Р. нуль в Е ^п, и, таким образом, с точностью до нульмерных отображений n-мерные компакты не отличимы от ограниченных замкнутых, содержащих внутренние (относительно Е).точки подмножеств Е ^п.

См. также Размерности теория.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П. С., П а с ы н к о в Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973; [2] Г у р е в и ч В., В о л м э н Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [3] У р ы с о н П. С.., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1-2, М.- Л., 1951. Б. А. Пасынков.