ПОЛИВЕКТОР

р- вектор, векторного пространства V - элемент р-й внешней степени L^PV пространства Vнад полем k(см. Внешняя алгебра). p -вектор может пониматься как кососимметризованный рраз контравариантный тензор на V. Любая линейно независимая система векторов х ₁, . . ., х _р из Vопределяет ненулевой р-вектор ПОЛИВЕКТОР фото №1 такие П. наз. разложимыми, или простыми (часто - просто П.). При этом линейно независимые системы х ₁, . . ., х _р и y₁ . . ., у _р порождают одно и то же подпространство в Vв том и только в том случае, когда ПОЛИВЕКТОР фото №2 ПОЛИВЕКТОР фото №3 , где ПОЛИВЕКТОР фото №4 . Для любого ненулевого поливектора ПОЛИВЕКТОР фото №5 его аннулятор ПОЛИВЕКТОР фото №6 есть подпространство размерности ПОЛИВЕКТОР фото №7 , причем поливектор tразложим тогда и только тогда, когда dim Ann t=p. Разложимые р- векторы n-мерного пространства Vобразуют коническое алгебраич. многообразие в L^pV;. соответствующее проективное алгебраич. многообразие есть Грассмана многообразие. Любой ненулевой n-вектор или ( п-1)-вектор в n-мерном пространстве Vразложим; бивектор tразложим тогда и только тогда, когда ПОЛИВЕКТОР фото №8

Если v₁, .. ., v_n - базис пространства V и х _i ПОЛИВЕКТОР фото №9 , то координатами поливектора ПОЛИВЕКТОР фото №10 ПОЛИВЕКТОР фото №11 в базисе ПОЛИВЕКТОР фото №12 пространства L^PV являются миноры ПОЛИВЕКТОР фото №13

ПОЛИВЕКТОР фото №14 , матрицы ПОЛИВЕКТОР фото №15 . В частности, при р=п

ПОЛИВЕКТОР фото №16

Если фиксировать ненулевой n-вектор ПОЛИВЕКТОР фото №17 , то возникает двойственность между р-векторамй и ( п- р)-векторами, т. е. естественный изоморфизм

ПОЛИВЕКТОР фото №18

такой, что ПОЛИВЕКТОР фото №19 для всех ПОЛИВЕКТОР фото №20 и ПОЛИВЕКТОР фото №21

Пусть k=R и в Vзадано скалярное произведение, тогда в L^PV индуцируется скалярное произведение, обладающее следующим свойством: для любого ортонормированного базиса v₁ . . ., v_n в V базис ПОЛИВЕКТОР фото №22 ПОЛИВЕКТОР фото №23 в L^PV также ортонормирован. Скалярный квадрат

ПОЛИВЕКТОР фото №24

разложимого поливектора ПОЛИВЕКТОР фото №25 совпадает с квадратом объема параллелепипеда в V, натянутого на векторы х ₁, . . ., x_p. Если фиксировать в n-мерном евклидовом пространстве Vориентацию (что равносильно выбору n-вектора w, для к-рого (w, w)=1), то указанная выше двойственность приводит к естественному изоморфизму ПОЛИВЕКТОР фото №26 такому, что ПОЛИВЕКТОР фото №27 ПОЛИВЕКТОР фото №28 для всех ПОЛИВЕКТОР фото №29 . В частности, ( п-1)-вектору ПОЛИВЕКТОР фото №30 соответствует вектор ПОЛИВЕКТОР фото №31 , наз. векторным произведением векторов x_t, . .., x_n-1.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [3] Постников М. М._; Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.

А. Л. Онищик.

Синонимы:

вектор

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

ПОЛИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ →← ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ПОЛИВЕКТОР

Синонимы слова "ПОЛИВЕКТОР":

Смотреть что такое ПОЛИВЕКТОР в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: