ОТОБРАЖЕНИЕ

однозначное - закон, по к-рому каждому элементу нек-рого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y(при этом Xможет совпадать с Y). Такое соотношение между элементами ОТОБРАЖЕНИЕ фото №1 и ОТОБРАЖЕНИЕ фото №2 записывается в виде y=f(x), y=fx или у-у (х). Пишут также ОТОБРАЖЕНИЕ фото №3 и говорит, что отображение f действует из Xв У. Множество X наз. областью определенияотображения, а множество ОТОБРАЖЕНИЕ фото №4 наз. множеством значений отображения. Отображение ОТОБРАЖЕНИЕ фото №5 наз. также отображением множества Xвомножество Y(или на множество Y, если ОТОБРАЖЕНИЕ фото №6 ). Логически понятие "О." совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование.

Отображение ОТОБРАЖЕНИЕ фото №7 порождает множество Gr_f= ОТОБРАЖЕНИЕ фото №8 , наз. графиком отображения. Обратно, множество ОТОБРАЖЕНИЕ фото №9 определяет однозначное О. если и только если для всех и ОТОБРАЖЕНИЕ фото №10

существует ОТОБРАЖЕНИЕ фото №11 , притом только один такой, что ОТОБРАЖЕНИЕ фото №12 , тогда ОТОБРАЖЕНИЕ фото №13

Два отображения f и gназ.равными, если области их определения совпадают и f(x) = g(x) для любого ОТОБРАЖЕНИЕ фото №14 . В этом случае совпадают и области значений этих О. Отображение f на Xназ. постоянным, если f(x)=а для любого ОТОБРАЖЕНИЕ фото №15 . Сужением отображения ОТОБРАЖЕНИЕ фото №16 на подмножество ОТОБРАЖЕНИЕ фото №17 наз. отображение j, заданное на множестве Аравенством ОТОБРАЖЕНИЕ фото №18 ; это сужение обозначается f_A. Расширением отображения (или продолжением) на множество ОТОБРАЖЕНИЕ фото №19 наз. отображение F, определенное на E и удовлетворяющее равенству F(x)=f(x).для всех ОТОБРАЖЕНИЕ фото №20 . Если заданы три множества X, Y, Z, на X определено отображение f со значениями в Y, а на Yзадано отображение gсо значениями в Z, то существует отображение hс областью определения X, принимающее значения в Z и определяемое равенством h(x)=g[f(x)]. Это О. наз. композицией отображении fи g, а fи gсоответствующим и отображениями, и обозначается g o f, причем порядок записи играет существенную роль (для функций действительного переменного принят термин суперпозиция). Отображение hназ. также сложным отображением, составленным из внутреннего отображения f и внешнего отображения g. Понятие сложного О. обобщается на любое конечное число составляющих О.

Отображение f, определенное на X и принимающее значения в Y, порождает новое О., заданное на подмножествах множества X и имеющее в качестве значений: подмножества множества Y. Именно, если ОТОБРАЖЕНИЕ фото №21 , то

ОТОБРАЖЕНИЕ фото №22

Множество f(A).наз. образом множества A. Если положить A={x}, то получится исходное отображение f(x), так что f(А).есть расширение отображения f(х).с множества X на множество ОТОБРАЖЕНИЕ фото №23 всех подмножеств множества X, если отождествлять одноэлементное множество с элементом, его составляющим. В случае Y=X множество Аваз. инвариантным подмножеством отображения f, если ОТОБРАЖЕНИЕ фото №24 , а точка хназ. неподвижным эле ментом отображения f, если f(x)=x. Инвариантные множества и неподвижные элементы играют важную роль при решении функциональных уравнений вида f(х)=а или х-f(x)=a.

Каждое отображение ОТОБРАЖЕНИЕ фото №25 порождает О., заданное на подмножествах множества f(X) и имеющее в качестве значений подмножества множества X. Именно, для каждого ОТОБРАЖЕНИЕ фото №26 через f^-1(B) обозначается множество ОТОБРАЖЕНИЕ фото №27 , называемое полным прообразом множества В. Если f^-1(y) для любого ОТОБРАЖЕНИЕ фото №28 состоит из единственного элемента, то f^-1 есть О. элемента, определенное на f(X), принимающее значения в X и называемое обратным отображением к f. Существование обратного О. эквивалентно разрешимости уравнения f(х)=у,

Если ОТОБРАЖЕНИЕ фото №29 множества X п Yнаделены нек-рыми свойствами, то во множестве F(X, Y).всех О. на X в Y могут быть выделены содержательные классы. Так, для частично упорядоченных множеств X и Yотображение f наз. изотопным, если x влечет Для комплексных плоскостей X и Y выделяется класс голоморфных О. Для топология, пространств X и Y естественным образом выделяется класс непрерывных О. этих пространств; строится развернутая теория дифференцирования отображений. Для О. скалярного аргумента и, в более общем случае, для О., определенных на пространстве с мерой, может быть введено понятие (сильной или слабой) измеримости и могут быть построены различные интегралы лебеговского типа (напр., Бохнера интеграл, Даниеля интеграл).

О. наз. многозначным отображением, если нек-рым значениям x соответствуют подмножества ОТОБРАЖЕНИЕ фото №31 , состоящие более чем из одного элемента. Таковы, напр., многолистные функции комплексного переменного, многозначные О. топологических пространств и др.

Пит.:[1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1065; [2]его же, Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., 2изд., М., 1968; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2изд., М., 1081. В. И. Соболев.

Синонимы:

воспроизведение, воссоздание, выражение, изображение, индикация, образ, обрисовка, обрисовывание, описание, отражение, передача, показ, сюръекция

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

ОТОБРАЖЕНИЕ ПЕРИОДОВ →← ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ КРИТЕРИИ

ОТОБРАЖЕНИЕ

Синонимы слова "ОТОБРАЖЕНИЕ":

Смотреть что такое ОТОБРАЖЕНИЕ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: