ОБОБЩЕННОГО СДВИГА ОПЕРАТОРЫ

гипергруппа,- понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек-рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая алгебра, положительно определенная функция, почти периодическая функция и др. В рамках теории О. с. о. удается получить далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и результатов, связанных с указанными понятиями. В частности, теория О. с. о. имеет существенные приложения к гармоническому анализу абстрактному.

Термины "О. с. о." и "гипергруппа" принадлежат Ж. Дельсарту (см. [1] - [3]). Ему же принадлежат важные идеи и ряд первоначальных результатов в данной области. Систематич. построение теории О. с. о. дано главным образом в работах Б. М. Левитана (см., напр., [4] - [7]).

Основные понятия. Пусть Н- произвольное множество, Ф - нек-рое векторное пространство комплекснозначных функций, определенных на Н. Пусть каждому элементу сопоставлен линейный оператор в Ф, причем при любом фиксированном функция содержится в Ф для всех . Линейный оператор в Ф обозначается (т.е. ). Линейные операторы наз. операторами обобщенного сдвига, если выполнены следующие условия (аксиомы) : 1) для любых (аксиома ассоциативности), 2) существует в Нтакой элемент е, наз. нейтральным, что , где I - тождественный оператор. В таком случае множество Нназ. гипергруппой, так что понятия "О. с. о." и "гипергруппа" равносильны. Операторы часто наз. операторами правого сдвига, тогда как наз. операторами левого сдвига.

О. с. о. очевидным образом возникают в любом инвариантном относительно сдвигов векторном пространстве функций на произвольной полугруппе с единицей, напр, на группе. Пусть где - произведение элементов h, х в полугруппе, а

тогда аксиома ассоциативности сводится к ассоциативности умножения в полугруппе, а нейтральным элементом является единица полугруппы, так что операторы R x образуют семейство О. с. о. Нетривиальные примеры приводятся ниже.

В общем случае не образуют О. с. о., так как оператор не обязан быть тождественным. Однако является проектором, и его образ наз. основным поДпространством в Ф. В пространстве операторы образуют семейство О. с. о., и симметрия между операторами левого и правого сдвига восстанавливается. Часто вторую из аксиом О. с. о. усиливают требованием, чтобы , т. е.

Условия 1) и 2) являются наиболее общими аксиомами О. с. о. Накладывая дополнительные условия, можно выделять более узкие классы О. с. о. Если для всех то О. с. о. Rx наз. коммутативными; в этом случае и гипергруппа Нназ. коммутативной. Если относительно Н делаются дальнейшие предположения, то для О. с. о. естественным образом возникают новые условия. Напр., если Н- локально бикомпактное пространство с мерой т, то обычно требуется, чтобы операторы и согласованно действовали в пространстве С(Н)непрерывных функций на Ни в пространствах причем на и накладываются дополнительные условия типа непрерывности; если Н- гладкое многообразие, то накладываются условия типа дифференцируемоеЩ, и т. п. Различные варианты аксиоматики даны в [1], [3] - [6], [8], [15] - [20].

Примерно, с. о., связанных с группами. Операторы обобщенного сдвига Дельсарта. Пусть G- топологич. группа, К- нек-рая бикомпактная группа автоморфизмов группы - мера Хаара на Ки . В пространствеФ=С(G) непрерывных функцийна GО. с. о. определяются с помощью равенства

где - образ элемента при автоморфизме - произведение элементови в G. Нейтральным элементом является единица группы. Обе аксиомы О. с. о. выполняются; если Gкоммутативна, то коммутативны и О. с. о. Дельсарта. Основное подпространство состоит из всех функций, постоянных на орбитах относительно действия группы К, а операторы совпадают в если хи улежат на одной орбите. Поэтому пространство орбит Нтакже можно наделить структурой гипергруппы, отождествляя с пространством непрерывных функций на Ни полагая где х- произвольный элемент орбиты h. Если G совпадает с , а группа автоморфизмов состоит из двух элементов (отражение относительно нуля и тождественное отображение), то В этом случае основное подпространство состоит из четных функций, а пространство орбит отождествляется с полуосью Другой частный случай О. с. о. Дельсарта получается при и при этом основное подпространство состоит из центральных функций на К, а гипергруппа, образованная орбитами, т. е. классами сопряженных элементов, коммутативна.

Двойные классы смежности по бикомпактной подгруппе. Пусть G- локально бикомпактная группа, К- ее бикомпактная подгруппа, Н- пространство двойных классов смежности по подгруппе К(такой класс вместе с элементом содержит и все элементы вида , где ,).

Если К- нормальный делитель в G, то Нсовпадает с факторгруппой . Пусть Ф - пространство, состоящее из всех таких непрерывных функций на G, что для любых элементов . О. с. о. определяется формулой

Пространство Ф можно отождествить с пространством С(Н) непрерывных функций на Ни так же, как для О. с. о. Дельсарта, можно наделить Hструктурой гипергруппы. Если G- линейная полупростая группа Ли, К- ее максимальная бикомпактная подгруппа, то гипергруппа Нкоммутативна и тесно связана со сферич. функциями на G(в частности, все сферич. функции лежат в Ф).

В описанных выше примерах наряду с пространствами непрерывных функций можно рассматривать и другие функциональные пространства (см. [8], [13], [15] - [19]).

Гиперкомплексные системы. Пусть Ф - конечная гиперкомплексная система, т. е. конечномерная ассоциативная алгебра с фиксированным базисом Алгебра Ф отождествляется с пространством функций на конечном множестве Н, причем функции соответствует элемент

Пусть

где - произведение элементов и x в алгебре Ф.

Операторы образуют семейство О. с. о. тогда и только тогда, когда один из элементов базиса Нявляется правой единицей в алгебре Ф; указанным способом устанавливается соответствие между любыми О. с. о. в пространстве функций на конечном множестве и конечными гиперкомплексными системами. Таким образом, понятие О. с. о. можно рассматривать как далеко идущее обобщение классич. понятия гиперкомплексной системы. Важные примеры О. с. о., к-рые естественно трактовать как гпперкомплексные системы со счетным или континуальным базисом, рассмотрены, напр., в [4], [5], [8].

Генераторы и теоремы Ли для О. с. о. Пусть гипергруппа Нявляется дифференцируемым (или комплексно-аналитическим) многообразием и - дифференцируемая (соответственно голоморфная) функция на при всех . Пусть - локальные координаты точки , причем система координат выбрана так, что нейтральный элемент имеет координаты (0, ..., 0). Генераторами (инфинитезимальными операторами) правого сдвига k- топорядка для О. с. о. наз. линейные операторы вида

где .

Аналогично генераторы левого сдвига определяются равенством

Из аксиомы ассоциативности можно вывести, что любой генератор левого сдвига коммутирует со всеми генераторами правого сдвига (равно как и с операторами ). Дифференцирование условия; ассоциативности по переменным соответствующее число раз дает при систему уравнений

где . Эту систему следует рассматривать как обобщение на случай О. с. о. первой прямой теоремы Ли (см. [3] для О. с. а. Дельсарта и [5] для общего случая). Не обязательно привлекать все уравнения системы (*), чтобы определить и( х, у). Напр., для сдвига на группе Ли уже генераторы 1-го порядка однозначно определяют функцию и(т. е. групповое умножение). В общем случае нек-рые генераторы низших порядков могут вырождаться, напр, в умножение на константу, так что соответствующие уравнения системы (*) не содержат полезной информации. Поэтому возникает задача: отобрать минимальное число уравнений из системы (*), однозначно определяющих О. с. о. При этом вырождающиеся генераторы пополняют число начальных условий. Если конечная система вида (*) при нек-рых начальных условиях, среди к-рых содержится условие , однозначно определяет решение , причем операторы, стоящие в левых частях системы, коммутируют со всеми операторами, стоящими в правых частях, то операторы суть О. с. о. Это утверждение является аналогом первой обратной теоремы Ли [5]. Для нек-рого класса О. с. о. доказаны (см. [5]) аналоги второй и третьей (прямой и обратной) теорем Ли. В частности, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от ппеременных построены О. с. о., для к-рых генераторы правого (левого) сдвига порождают любую заданную n-мерную алгебру Ли. Получено явное описание этих генераторов в виде интегро-дифференциальных операторов 2-го порядка [10]. С помощью аналогичной техники построены [11] генераторы любого порядка, действующие в пространстве целых аналитич. ций (от ппеременных) и порождающие любую n-мерную вещественную алгебру Ли; по этим генераторам восстанавливаются О. с. о. Можно строить О. с. о., исходя не только из алгебр Ли, но и из коммутационных соотношений более общего вида (см. [7], [12]). Так, напр., уже в [1] О. с. о. на прямой строились исходя из явно заданного генератора 2-го порядка с помощью ряда, аналогичного ряду Тейлора, к-рый дает разложение обычного сдвига по степеням оператора дифференцирования. Подробно описаны коммутативные О. с. о. на прямой с генератором 2-го порядка типа Штурма - Лиувилля (см. [4], [5]) и указаны приложения к операторам и уравнениям Штурма - Лиувилля. Дана [14] полная классификация О. с. о. с генератором типа Штурма - Лиувилля (в том числе некоммутативных) в пространстве дифференцируемых функций на прямой.

Представления О. с. о. и гипергрупповые алгебры. Теория представлений для О. с. о. не столь хорошо разраб. Бесконечномерное представление). Если гипергруппа Нлокально бикомпактна, то пространство М(Н). комплексных мер Радона с бикомпактными носителями на Нприобретает структуру гипергрупповой алгебры относительно обобщенной свертки элементов определяемой равенством где - любая непрерывная функция на Н. Аналогично определяется структура гипергрупповой алгебры в пространстве D(Н)финитных обобщенных функций на Н(или в пространстве (Н)аналитич. функционалов на Н), если гипергруппа Нявляется дифференцируемым (комплексно-аналитическим) многообразием. Относительно естественных топологий М(Н), D(H), А(H)являются топологич. алгебрами; -функция, сосредоточенная в нейтральном элементе , является правой единицей в каждой из этих алгебр. Справедливо и обратное утверждение: если в пространстве М(Н)(соответственно D(H), A(H)), наделенном естественной топологией, задана структура топологической ассоциативной алгебры с правой единицей, являющейся 6-функцией, то существует такая (единственная) структура гипергруппы на Н, что обобщенная свертка совпадает с умножением в М(Н)(соответственно в D(H)или (Н)). Непрерывные представления алгебры М(Н)(D(H), А (Н))интерпретируются как непрерывные (бесконечно дифференцируемые, голоморфные) представления соответствующих О. с. о. [20].

Аналогом теории унитарных представлений групп является теория симметричных представлений гипергрупповых банаховых алгебр с инволюцией. Наиболее полные результаты (см. [4] - [6]) получены для представлений коммутативных и бикомпактных О. с. о. При нек-рых условиях структурой гипергрупповой банаховой алгебры с инволюцией наделяется пространство суммируемых по положительной мере тфункций на гипергруппе Н. Одно из этих условий состоит в том, чтобы мера тбыла инвариантна относительно обобщенных сдвигов (различные варианты точных определений см. в [4] -[6], [15] - [19]). При естественных предположениях доказана единственность (с точностью до скалярного множителя) меры, инвариантной относительно правых или левых обобщенных сдвигов; имеются и достаточные условия существования такой меры (условия типа компактности, коммутативности или дискретности гипергруппы, см. [8], [16] - [18]). Однако вопрос о существовании инвариантной меры для О. с. о. общего вида остается открытым (1982). Наряду с важную роль играют гипергрупповая банахова алгебра мер ограниченной вариации и гипергрупповая -алгебра.

Гипергрупповые банаховы алгебры и их симметричные представления изучались в [4], [6], [8], [15] - [19]. Алгебры аналитич. ционалов, связанные с нек-рыми О. с. о. на прямой, описаны в [9]. Для О. с. о. общего типа топологические гипергрупповые алгебры и их представления рассмотрены в [20], при этом задачи спектрального анализа и синтеза трактовались как задачи изучения идеалов гипергрупповых алгебр. Техника гипергрупповых алгебр применена [12] для решения задач математич. физики в рамках операторного метода В. П. Маслова.

Гармонический анализ. Следующая модель вскрывает структуру коммутативных О. с. о. (см. [4], [5]). Пусть положительные меры заданы на пространствах соответственно и с помощью функции , определенной на задано обобщенное преобразование Фурье

к-рое определяет изоморфизм гильбертовых пространств Пусть справедлива формула обращения

если мера т 2 дискретна, то эта формула дает разложение функции в обобщенный ряд Фурье.

Оказывается, что имеет структуру гппергруппы, если для нек-рой точки и для всех справедливо равенство . В этом случае О. с. о. определяются формулой

Поэтому О. с. о. естественно возникают в задачах, связанных с разложениями по ортогональным системам функций, спектральной теорией операторов и т. п., что обеспечивает широкий круг приложений теории О. с. о. (см., напр., [4], [5], [8], [15]- [19]). На случай коммутативных О. с. о. обобщены теорема Бохнера о представлении положительно определенных функций и закон двойственности Понтрягина, определено обобщенное преобразование Фурье и доказан аналог Планшереля теоремы[6] (различные варианты этих результатов см. в [15] - [17]). С помощью теории представлений можно строить гармонич. анализ и для некоммутативных О. с. о. Напр., для О. с. о. получены некоммутативные аналоги теоремы Планшереля и формулы обращения, включающие в качестве частного случая соответствующие результаты для локально компактных групп; для бикомпактных О. с. о. справедлив аналог теоремы Петера - Вейля. Для О. с. о. рассматривались варианты гармонич. анализа в духе теорий почти периодических и средне периодических функций (см. [1], [2], [4], [8], [9], [14], [20]). Для коммутативных О. с. о. получен аналог Винера глауберовой теоремы и рассмотрены вопросы спектрального синтеза (см. [21] , [22]). О приложениях О. с. о. к гармонич. анализу на группах см. [8], [13], [16], [19].

Лит.:[1] Delsarte J., "J. math, pures et appl.", 1938, t. 17, p. 213-31; [2] его же, "Acta math.", 1939, v. 69 p. 259-317; [3] его же, "Colloq. internat. CNRS", 1956, №71, p. 29-45; [4] Левитан Б. М., "Успехи матем. наук", 1949, т. 4, в. 1, с. 3-112; [5] его же, Теория операторов обобщенного сдвига, М., 1973; [6] его же, "Докл. АН СССР", 1945, т. 47, с. 3-6, 163-65, 323-26, 401-03; [7] его же, там же, 1958, т. 123, с. 243-45; [8] Березанский Ю. М., Крейн С. Г., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 1, с.147- 52; [9] Красичков И. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1967, т. 31, №1,с. 37-60; 1968, т. 32, № 5, с. 1024-32; [10] Грабовская Р. Я., Крейн С. Г., "Math. Nachr." 1976, Bd 75, p. 9-29; [11] Грабовская Р. Я., Кононенко В. И., Осипов В. Б., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, № 4, с. 912-36; [12] Маслов В. П., "Теорет. и матем. физика", 1977, т. 33, с. 185-209; [13] Рашевский П. К., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1979, т. 38, с. 139-85; [14] Гуревич Д. И., "Матем. заметки", 1979, т. 25, № 3, с. 393-408; [15] Dunkl С h., "Trans. Amer. Math. Soc", 1973, v. 179, p. 331-48; [16] Jewett R., "Adv. Math " 1975, v. 18, №1, p. 1-101; [17] Spector R., "Lectures Notes in Math.", 1975, v. 497, p. 643-73; [18] его же, "Trans Amer. Math. Soc", 1978, v. 239, p. 147-65; [19] Ross K., "Symposia Math.", 1977, v. 22, p. 189-203; [20] Литвинов Г. Л., "Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу" 1978 в. 18, с. 345-71; [21] Сhilana A., Ross К., "Pacific J. Math.", 1978, v. 76, p. 313-28; [22] Chilana A., Kumar A., "Pacif. J. Math.", 1979, v. 80, № 1, p. 59-76.

Б. M. Левитан, Г. Л. Литвинов.



Математическая энциклопедия 

ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ →← ОБОБЩЕННО РАЗРЕШИМАЯ ГРУППА

T: 0.169487413 M: 3 D: 3