МОДУЛЬ

- абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек-рым кольцом.

Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А- модулем, если определено отображение МОДУЛЬ фото №1 значение к-рого на паре МОДУЛЬ фото №2 для МОДУЛЬ фото №3 записывается как am, причем выполняются аксиомы:

МОДУЛЬ фото №4

Если кольцо Аобладает единицей, то обычно требуют дополнительно, чтобы для любого МОДУЛЬ фото №5 выполнялось равенство МОДУЛЬ фото №6 . М. с этим свойством наз. унитарным, или унитальным.

Аналогично определяются правые A-модули; при этом аксиома 3) заменяется условием МОДУЛЬ фото №7 МОДУЛЬ фото №8 Любой правый А-модуль можно рассматривать как левый МОДУЛЬ фото №9 -модуль над кольцом МОДУЛЬ фото №10 , антиизоморфным кольцу А, поэтому любому утверждению о правых A-модулях соответствует нек-рое утверждение о левых МОДУЛЬ фото №11 -модулях и наоборот. В случае, когда кольцо Акоммутативно, любой левый A-модулъ можно рассматривать как правый A-модуль, и различие между левыми и правыми М.исчезает. Ниже будут рассматриваться только левые A-модули.

Простейшие примеры М. (конечные абелевы группы, т. -модули) появляются уже у К. Гаусса (C.Gauss) как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие М. встречается впервые в 60-80-х гг. 19 в. в работах Р. Дедекинда (R. Dedekind) и Л. Кронекера (L. Kronecker), посвященных арифметике полей алгебраич. чисел и алгебраич. функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, В. Peirce, Ф. Фробениус, F. Frobenius), привело к изучению идеалов нек-рых некоммутативных колец. Первоначально теория М. развивалась преимущественно как теория идеалов нек-рого кольца. Лишь позднее в работах Э. Нётер (Е. Noether) и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных М., а не только идеалов. Последующее развитие теории М. связано с применением методов и идей теории категорий, в частности методов гомологич. алгебры.

Примеры модулей. 1) Любая абелева группа Мявляется М. над кольцом целых чисел МОДУЛЬ фото №12 . Для МОДУЛЬ фото №13 и МОДУЛЬ фото №14 произведение am определяется как результат сложения т а раз.

2) В случае, когда А- поле, понятие унитарного A-модуля в точности эквивалентно понятию линейного векторного пространства над А.

3) Координатное n-мерное векторное пространство V над полем Кможно рассматривать как М. над кольцом МОДУЛЬ фото №15 всех МОДУЛЬ фото №16 -матриц с коэффициентами из К. Для МОДУЛЬ фото №17 и МОДУЛЬ фото №18 произведение МОДУЛЬ фото №19 определяется как умножение матрицы Xна столбец координат вектора МОДУЛЬ фото №20 .

4) Ассоциативное кольцо Аявляется левым Л-мо-дулем. Умножение элементов кольца на элементы М. совпадает с обычным умножением в Л.

5) Дифференциальные формы на гладком многообразии Xснабжены естественной структурой М. над кольцом всех гладких функций на X.

6) С любой абелевой труппой Мсвязано ассоциативное кольцо с единицей End (M)всех эндоморфизмов группы М. Группа Мснабжена естественной структурой End (M)-модуля.

Если на Мзадана структура A-модуля для нек-рого кольца A. то отображение МОДУЛЬ фото №21 является эндоморфизмом Мдля любого МОДУЛЬ фото №22 . Сопоставляя элементу МОДУЛЬ фото №23 порождаемый им эндоморфизм М, получают гомоморфизм МОДУЛЬ фото №24 кольца МОДУЛЬ фото №25 в МОДУЛЬ фото №26 . Наоборот, любой гомоморфизм МОДУЛЬ фото №27 определяет на Мструктуру A-модуля. Таким образом, задание структуры A-модуля на абелевой группе Мравносильно заданию гомоморфизма МОДУЛЬ фото №28 . Такой гомоморфизм наз. также представлением кольца A, а Мназ. модулем представления. С любым представлением МОДУЛЬ фото №29 связан двусторонний идеал МОДУЛЬ фото №30 , состоящий из элементов МОДУЛЬ фото №31 таких, что am=0 для всех МОДУЛЬ фото №32 . Этот идеал наз. аннулятором модуля М. В случае, когда МОДУЛЬ фото №33 представление наз. точным, МОДУЛЬ фото №34 - точным модулем.

Очевидно, что модуль Мможно рассматривать также как М. над факторкольцом МОДУЛЬ фото №35 . В частности, хотя определение М. и не предполагает ассоциативности кольца A, кольцо МОДУЛЬ фото №36 всегда ассоциативно. Поэтому в большинстве случаев достаточно ограничиться рассмотрением М. над ассоциативными кольцами. Ниже, везде, где не оговорено противное, кольцо A будет предполагаться ассоциативным.

G-модули. Пусть G- нек-рая группа. Аддитивная абелева группа Мназ. левым G-модулем, если задано отображение МОДУЛЬ фото №37 , значение к-рого на паре МОДУЛЬ фото №38 , где МОДУЛЬ фото №39 , записывается как gm, причем для любого МОДУЛЬ фото №40 отображение МОДУЛЬ фото №41 является эндоморфизмом группы М, для любых МОДУЛЬ фото №42 , МОДУЛЬ фото №43 , МОДУЛЬ фото №44 и для всех МОДУЛЬ фото №45 где 1 - единица группы G. Для любого МОДУЛЬ фото №46 отображение МОДУЛЬ фото №47 является автоморфизмом группы М.

Аналогично можно определить правые G-модули. При МОДУЛЬ фото №48 любой правый G-модуль будет левым G-модулем.

Примеры G - модулей. 1) Пусть К- расширение Галуа нек-рого поля кс группой Галуа G. Тогда аддитивная и мультипликативная группы поля Кснабжены естественной структурой G-модуля. Если к- поле алгебраич. чисел, то G-модулями также являются аддитивная группа кольца целых чисел поля K, группа единиц поля К, группа дивизоров и группа классов дивизоров поля К, и т. д. М. над группой Галуа наз. также модулями Галуа.

2) Пусть задано нек-рое расширение абелевой группы М, т. е. точная последовательность групп

МОДУЛЬ фото №49

где М- абелев нормальный делитель группы Fи G - произвольная группа. Тогда группу Мможно снабдить естественной структурой G-модуля, положив для МОДУЛЬ фото №50 где МОДУЛЬ фото №51 - нек-рый прообраз элемента gв группе F.

В тех случаях, когда групповая операция в абелевой группе Мзаписывается мультипликативно (напр., М- мультипликативная группа нек-рого поля), вместо записи gm используют также запись mg, т. е. операторы из группы G записывают как показатели.

Пусть задан G-модуль М. Сопоставляя элементу МОДУЛЬ фото №52 автоморфизм МОДУЛЬ фото №53 группы М, получают гомоморфизм группы МОДУЛЬ фото №54 в группу обратимых элементов кольца МОДУЛЬ фото №55 . Наоборот, любой гомоморфизм группы G в группу обратимых элементов кольца End (М) задает на Мструктуру G-модуля.

Понятия М. над кольцом и G-модуля тесно связаны. Именно, любой G-модуль Мможно рассматривать как М. над групповым кольцом МОДУЛЬ фото №56 , если распространить действие группы МОДУЛЬ фото №57 на МОДУЛЬ фото №58 по линейности, т. е. положить

МОДУЛЬ фото №59

где МОДУЛЬ фото №60 Наоборот, если на Мзадана структура унитарного МОДУЛЬ фото №61 G-модуля, то Мможно рассматривать как G-модуль.

В случае, когда Мявляется K-модулем над нек-рым коммутативным кольцом Ки одновременно G-модулем, причем действие элементов группы G на Мперестановочно с действием элементов К, М можно снабдить структурой KG -модуля, распространяя действие с Gна KG по линейности. Напр., если V- линейное векторное пространство над полем К, то задание структуры KG -модуля на Vэквивалентно заданию представления Gв пространстве V.

Используя стандартную инволюцию МОДУЛЬ фото №62 в группе G, любой левый G-модуль Мможно превратить в правый G-модуль, положив МОДУЛЬ фото №63 Аналогично, любой правый G-модуль можно превратить в левый G-модуль.

Модуль над алгеброй Ли. Пусть МОДУЛЬ фото №64 - алгебра Ли над коммутативным кольцом Ки М- нек-рый K-мо-дуль. Задание структуры МОДУЛЬ фото №65 -модуля на Мсостоит в задании K-эндоморфизма МОДУЛЬ фото №66 группы Мдля каждого МОДУЛЬ фото №67 , причем требуется выполнение аксиомы

МОДУЛЬ фото №68

для любых МОДУЛЬ фото №69 . Это определение отличается от данного ранее определения A-модуля. Задание на Мструктуры МОДУЛЬ фото №70 -модуля равносильно заданию K-гомоморфизма МОДУЛЬ фото №71 в алгебру Ли кольца End (М). Модуль Мнад алгеброй Ли можно рассматривать также как М. в обычном смысле над универсальной обертывающей алгеброй алгебры МОДУЛЬ фото №73

Конструкции в теории модулей. Исходя из заданных A-модулей, можно получать новые А-модули при помощи ряда стандартных построений. Так, с любым модулем Мсвязана решетка всех его подмодулей. Напр., если кольцо A рассматривать как левый М. над собой, то его левые подмодули - это в точности левые идеалы кольца А. Ряд важных типов М. определяется в терминах решетки подмодулей. Напр., условие обрыва убывающих (возрастающих) цепей подмодулей определяет артиновы модули( нётеровы модули). Условие отсутствия нетривиальных подмодулей, т. е. подмодулей, отличных от 0 и всего М., выделяет неприводимые модули.

Для модуля Ми любого его подмодуля Nфакторгруппу M/N можно снабдить структурой A-модуля. Этот модуль наз. фактормодулем Мпо N.

Гомоморфизм A-модулей определяется как гомоморфизм абелевых групп МОДУЛЬ фото №74 , перестановочный с умножением на элементы кольца А, т. для всех МОДУЛЬ фото №75 Если заданы два гомоморфизма МОДУЛЬ фото №76 , то их сумма, определяемая формулой МОДУЛЬ фото №77 МОДУЛЬ фото №78 , снова будет гомоморфизмом А-модулей. Это сложение задает на множестве МОДУЛЬ фото №79 всех гомоморфизмов модуля Мв Nстроение абелевой группы. Для любого гомоморфизма МОДУЛЬ фото №80 определены подмодули МОДУЛЬ фото №81 и МОДУЛЬ фото №82 , а также фактормодули МОДУЛЬ фото №83 (коядро f) и МОДУЛЬ фото №84 (кообраз f). М. Imf и Coim f канонически изоморфны, поэтому их обычно отождествляют. Напр., для любого левого идеала f кольца Аопределен фактормодуль A/J. М. A/J неприводим тогда и только тогда, когда J - максимальный левый идеал. Если М- иек-рый неприводимый A-модуль, не аннулируемый кольцом А, то Мизоморфен М. A/J для нек-рого максимального левого идеала J.

Для любого семейства МОДУЛЬ фото №85 , где МОДУЛЬ фото №86 пробегает нек-рое множество индексов J, в категории A-модулей существуют прямая сумма и прямое произведение семейства МОДУЛЬ фото №87 . При этом элементы прямого произведения МОДУЛЬ фото №88 можно интерпретировать как векторы МОДУЛЬ фото №89 , компоненты к-рых заиндексированы множеством J, причем для каждого индекса МОДУЛЬ фото №90 . Сложение таких векторов и умножение их на элементы кольца определяются покомпонентно. Прямую сумму МОДУЛЬ фото №91 семейства МОДУЛЬ фото №92 можно интерпретировать как подмодуль прямого произведения, состоящий из векторов, у к-рых все компоненты, кроме конечного числа, равны нулю.

Для проективной (индуктивной) системы A-модулей проективный (индуктивный) предел этой системы можно естественным образом снабдить структурой A-модуля. Прямое произведение и прямая сумма М. могут рассматриваться как частные случаи понятий проективного и индуктивного пределов.

Образующие и соотношения. Пусть X - нек-рое подмножество A-модуля М. Подмодулем, по рожденным множеством X, наз. пересечение всех подмодулей модуля М, содержащих X. Если этот подмодуль совпадает с М, то Xназ. семейством (или системой) образующих модуля М. М., допускающий конечное семейство образующих, наз. конечно порожденным модулем. Напр., в нётеровом кольце любой идеал является конечно порожденным М., прямая сумма конечного числа конечно порожденных М. снова конечно порождена. Любой фактормодуль конечно порожденного М. также конечно порожден. Для построения системы образующих модуля Мчасто оказывается полезной лемма Накаямы: для любого идеала МОДУЛЬ фото №93 , содержащегося в радикале кольца А, из условия МОДУЛЬ фото №94 следует М=0. В частности, в условиях леммы Накаямы элементы МОДУЛЬ фото №95 являются системой образующих для М, если их образы порождают модуль МОДУЛЬ фото №96 Это соображение особенно часто используется в случае, когда A - локальное кольцо и МОДУЛЬ фото №97 - максимальный идеал в A.

Пусть М- модуль с системой образующих МОДУЛЬ фото №98 Тогда отображение МОДУЛЬ фото №99 определяет эпиморфизм МОДУЛЬ фото №100 свободного A-модуля Fс образующими МОДУЛЬ фото №101 на М(М. Fможно определить как множество формальных конечных сумм МОДУЛЬ фото №102 отображение МОДУЛЬ фото №103 распространяется с образующих на элементы М. Fпо линейности). Элементы М. МОДУЛЬ фото №104 наз. соотношениями между образующими МОДУЛЬ фото №105 модуля М. Если модуль Мможно представить как фактормодуль конечно порожденного свободного М. Fтак, чтобы М. соотношений Rтакже был конечно порожден, что Мназ. конечно представимым модулем. Напр., над нётеровым кольцом A любой конечно порожденный М. конечно представим. В общем случае конечная представимость не следует из конечной порожденности.

Замена кольца. Существуют стандартные конструкции, позволяющие рассматривать A-модуль Мкак М. над нек-рым другим кольцом. Напр., пусть задан гомоморфизм колец МОДУЛЬ фото №106 . Тогда, полагая МОДУЛЬ фото №107 МОДУЛЬ фото №108 , можно рассматривать Мкак В-модуль.

Если модуль М- унитарный A-модуль, и гомоморфизм j переводит единицу в единицу, то Мстанет унитарным B-модулем.

Пусть задан нек-рый гомоморфизм колец МОДУЛЬ фото №109 и A-модуль М. Тогда Вможно снабдить структурой ( В, A )-модуля, полагая для и можно рассмотреть левый B-модуль МОДУЛЬ фото №112 . Говорят, что этот М. получен из M расширением скаляров.

Категория модулей. Класс всех М. над заданным кольцом Ас гомоморфизмами М. в качестве морфиз-мов образует абелеву категорию, обозначаемую МОДУЛЬ фото №113 Из функторов, определенных на этой категории, наиболее важны функторы Нот (гомоморфизмы) и МОДУЛЬ фото №114 (тензорное произведение). Функтор Ноm принимает значения в категории абелевых групп и сопоставляет паре A-модулей М, N, группу МОДУЛЬ фото №115 . Для МОДУЛЬ фото №116 очевидным образом определяются отображения

МОДУЛЬ фото №117

МОДУЛЬ фото №118

т. е. функтор Ноm контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. В случае, когда Мили N несет структуру бимодуля, группа обладает дополнительной модульной структурой. Если Nесть (А, B)-модуль, то МОДУЛЬ фото №120 - правый B-модуль, а если Месть ( А, В )-бимодуль, то МОДУЛЬ фото №121 - левый В-модуль.

Функтор МОДУЛЬ фото №122 ставит в соответствие паре М, N, где М - правый A-модуль, a N - левый A-модуль, тензорное произведение МОДУЛЬ фото №123 модулей Ми Nнад кольцом А. Этот функтор принимает значения в категории абелевых групп и ковариантен как по М, так и по N. В случае, когда Мили N- бимодули, группу можно снабдить дополнительной структурой. Именно, если Месть (В, A)-модуль, то МОДУЛЬ фото №125 есть В-модуль, а если Nесть ( А, В )-бимодуль, то МОДУЛЬ фото №126 - правый В-модуль. Изучение функторов Ноm и МОДУЛЬ фото №127 , а также их производных функторов является одной из основных задач гомологич. алгебры.

Многие важные типы М. характеризуются в терминах функторов Ноm и МОДУЛЬ фото №128 . Так, проективный модуль М определяется требованием, чтобы функтор (от X)был точным. Аналогично, инъективный модуль N определяется требованием точности (от X). Плоский модуль М определяется требованием точности функтора МОДУЛЬ фото №131

М. над данным кольцом Аможно рассматривать с двух точек зрения.

1) Можно изучать М. с точки зрения их внутренней структуры. Основной задачей здесь является полная классификация М., т. е. построение для каждого М. системы инвариантов, характеризующей этот М. с точностью до изоморфизма, и умение по заданному набору инвариантов строить М. с этими инвариантами. Для нек-рых типов колец такое описание возможно. Напр., если М- конечно порожденный М. над групповым кольцом KG конечной группы G, где К- нек-рое поле, характеристика к-рого взаимно проста с порядком G, то Мпредставим в виде конечной прямой суммы неприводимых подмодулей (модуль Мвполне приводим). Это представление определено однозначно с точностью до изоморфизма (сами неприводимые подмодули в общем случае не определяются однозначно). Все неприводимые подмодули также допускают простое описание: все они содержатся в регулярном представлении группы Gи находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми характерами этой группы. Также простое описание допускают М. над кольцом главных идеалов и над дедекиндовым кольцом. Именно, любой конечно порожденный модуль Мнад кольцом главных идеалов Аизоморфен конечной прямой сумме М. вида МОДУЛЬ фото №132 , где МОДУЛЬ фото №133 - нек-рые идеалы кольца А(возможно, нулевые), причем МОДУЛЬ фото №134 МОДУЛЬ фото №135 и идеалы МОДУЛЬ фото №136 однозначно определяются последним условием. Таким образом, набор инвариантов МОДУЛЬ фото №137 полностью определяет модуль М. Если М- конечно порожденный М. над дедекиндовым кольцом А, то МОДУЛЬ фото №138 где МОДУЛЬ фото №139 - периодич. М., а М ₂- М. без кручения (выбор модуля МОДУЛЬ фото №140 не однозначен). Модуль МОДУЛЬ фото №141 аннулируется нек-рым идеалом МОДУЛЬ фото №142 кольца Аи, следовательно, является М. над кольцом главных идеалов МОДУЛЬ фото №143 и допускает описание, указанное выше, а модуль МОДУЛЬ фото №144 представим в виде МОДУЛЬ фото №145 - нек-рый идеал А, а МОДУЛЬ фото №146 - прямая сумма праз. Модуль М ₁ с точностью до изоморфизма однозначно определяется двумя инвариантами: числом пи классом идеала МОДУЛЬ фото №147 в группе классов идеалов.

2) Другой подход к изучению М. состоит в изучении категории A = mod и данного модуля Мкак объекта этой категории. Такое изучение является предметом гомологич. алгебры и алгебраич. K-теории. На этом пути было получено много важных и глубоких результатов.

Часто рассматривают М., несущие нек-рую дополнительную структуру. Так рассматриваются градуированные модули, фильтрованные модули, топологические модули, модули с полуторалинейной формой и т. д.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] его же, Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] его же, Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Ван дер Варден Б. Л-, Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [6] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [7] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [8] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [9] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [10] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [11] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [12] Басе X., Алгебраическая K-теория, пер. с англ., М., 1973; [13] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974.

Л. В. Кузьмин.

Синонимы:

веблет, гидромодуль, микромодуль, пневмомодуль, подмодуль, субмодуль, узел, устройство, часть

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

МОДУЛЬ

Синонимы слова "МОДУЛЬ":

Смотреть что такое МОДУЛЬ в других словарях: