ГОМОТОПИЯ

гомотопность двух непрерывных отображений - формализация интуитивного представления о деформи-руемости одного отображения в другое. Точнее, отображения паз. гомотопными (обозначение ), если существует такое семейство непрерывных отображений непрерывно зависящих от параметра что (фиксация отрезка [0, 1] произведена здесь лишь по соображениям технич. удобства; ясно, что вместо него можно взять любой другой отрезок действительной оси). Это семейство (называемое гомотопией связывающей ) является путем в пространстве всех непрерывных отображений , связывающим точку f с точкой g, так что гомотопность отображений является специализацией на случай пространств отображений общего отношения "быть связанным непрерывным путем". Поэтому, в частности, отношение гомотопности является отношением эквивалентности, а соответствующие классы (они называются гомотопич. классами) представляют собой компоненты линейной связности пространства . Для придания сказанному точного смысла необходимо уточнить, что означает выражение "отображения f_t непрерывно зависят от t". Самый естественный путь состоит во введении в топологии (или хотя бы псевдотопологии).Однако по традиции принято поступать иначе. Именно, но определению, считается, что непрерывно зависит от t, если функция непрерывна по совокупности переменных, т. е. если непрерывно отображение , определенное формулой (это отображение также часто наз. гомотопией, связывающей ).

Описанные Г. иногда наз. свободными, чтобы отличить их от "связанных" Г., возникающих, когда фиксирован нек-рый класс непрерывных отображений и наложено требование, чтобы для любого . Напр., если задано подпространство , то можно рассматривать связанные на Агомотопий, отличающиеся тем, что на Адля всех t. В этом случае говорят, что отображение гомотопно отображению относительно Аи пишут

Другой тип "связанных" Г. возникает, когда в Xи У выбраны подпространства и рассматриваются лишь отображения , удовлетворяющие условию . Такие отображения наз. отображениями пары в пару [обозначение , а соответствующие Г. [т. е. гомотопий, для к-рых для всех t] - гомотопиями отображений пар. Вместо пар можно рассматривать тройки (с условием или без этого условия), четверки и т. п. Можно рассматривать, напр., Г. отображений пар относительно третьего подпространства и т. д. Возможны и принципиально другие типы "связанных" Г.

Задача установления гомотопичности ("связанной" или нет) двух данных отображений равносильна задаче распространения на все непрерывного отображения в Y, заданного на (а в задаче гомотопности rel A - на ). В этом смысле задача гомотопности является частным случаем задачи распространения. Вместе с тем в широком классе случаев (а именно, для так наз. корасслоений). возможность распространения на все Xнепрерывного отображения , заданного на подпространстве , зависит только от его гомотопич. класса. Эта тесная связь задачи гомотопности и задачи распространения обусловливает их совместное рассмотрение в рамках так наз. теории гомотопий. См. Гомотопический тип. м. М. Постников.