НОРМИРОВАНИЕ

логарифмическое нормирование, оценка поля,- отображение НОРМИРОВАНИЕ фото №1 поля Кв НОРМИРОВАНИЕ фото №2 где Г - линейно упорядоченная абелева группа, а присоединяемый элемент НОРМИРОВАНИЕ фото №3 считается больше любого элемента из группы НОРМИРОВАНИЕ фото №4 и НОРМИРОВАНИЕ фото №5 для любого НОРМИРОВАНИЕ фото №6 . При этом Н. должно удовлетворять следующим условиям:

НОРМИРОВАНИЕ фото №7

Образ НОРМИРОВАНИЕ фото №8 при отображении vявляется подгруппой группы Г и называется группой значений нормирования v. Всюду в дальнейшем будет предполагаться, что НОРМИРОВАНИЕ фото №9 совпадает с Г.

Теми же аксиомами определяется логарифм и-ческое нормирование колец. Всякое кольцо с неархимедовым абсолютным значением может быть превращено в логарифмически нормированное кольцо, если в группоиде значений перейти от мультипликативной записи к аддитивной и заменить упорядоченность на инверсную. Элемент 0 при этом естественно обозначить символом НОРМИРОВАНИЕ фото №10 . Обратный переход от кольца с логарифмическим Н. к кольцу с неархимедовым абсолютным значением также возможен. Если в кольце было задано неархимедово вещественное нормирование, то соответствующий переход можно получить, заменяя любое положительное действительное число НОРМИРОВАНИЕ фото №11 числом НОРМИРОВАНИЕ фото №12 .Получающееся при этом логарифмическое Н. также принято называть вещественным.

Нормирования НОРМИРОВАНИЕ фото №13 наз. эквивалентными, если существует такой изоморфизм НОРМИРОВАНИЕ фото №14 упорядоченных групп, что для всех ненулевых элементов НОРМИРОВАНИЕ фото №15

НОРМИРОВАНИЕ фото №16

Множество таких элементов хполя К, что НОРМИРОВАНИЕ фото №17 , является подкольцом Аполя Ки наз. кольцом нормирования ев поле К. Кольцо Н. всегда является локальным кольцом. Элементы поля К, для которых НОРМИРОВАНИЕ фото №18 образуют максимальный идеал НОРМИРОВАНИЕ фото №19 кольца А; он наз. идеалом нормирования v. Факторкольцо НОРМИРОВАНИЕ фото №20 , являющееся полем, наз. полем вычетов нормирования НОРМИРОВАНИЕ фото №21 .

Пусть в поле Кзаданы Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №22 и НОРМИРОВАНИЕ фото №23 . Кольца этих Н., рассматриваемые как подкольца поля К, тогда и только тогда совпадают, когда эти Н. эквивалентны. Таким образом, обозрение всех (с точностью до эквивалентности) Н. поля Ксводится к обозрению всех таких подколец, которые могут служить для этого поля кольцами Н. Описание таких подколец дает следующая теорема: подкольцо Аполя Ктогда и только тогда может служить для этого поля кольцом Н., когда для всякого ненулевого элемента НОРМИРОВАНИЕ фото №24 , хотя бы один из элементов НОРМИРОВАНИЕ фото №25 принадлежит к А. Кольцо Н., таким образом, может быть абстрактно определено как целостное кольцо (область целостности), удовлетворяющее условию сформулированной выше теоремы по отношению к своему полю частных. Всякое такое кольцо служит кольцом т. н. канонического нормирования для своего поля частных, группой значений канонического Н. является группа НОРМИРОВАНИЕ фото №26 , где U-мультипликативная группа обратимых элементов кольца А, упорядоченная отношением делимости.

Кольца Н. можно определить еще одним способом. Если НОРМИРОВАНИЕ фото №27 - два локальных кольца с максимальными идеалами ти п соответственно, то говорят, что Вдоминирует А, если . Отношение доминирования является отношением частичного порядка на множестве подколец поля К. Максимальные элементы этого множества и только они являются кольцами Н. поля К. Если А- кольцо Н., а НОРМИРОВАНИЕ фото №29 - кольцо с тем же полем частных, что и А, то В также кольцо Н. и Вявляется локализацией кольца Апо нек-рому простому идеалу.

Примеры нормирований. 1) Нормирование поля, определяемое формулой:

НОРМИРОВАНИЕ фото №30

наз. несобственным, или тривиальным, Н. Таково любое Н. конечного поля. Ему соответствует точка НОРМИРОВАНИЕ фото №31 (тождественное отображение К).

2) Пусть k - нек-рое поле и НОРМИРОВАНИЕ фото №32 - поле формальных степенных рядов над k. Сопоставление ряду НОРМИРОВАНИЕ фото №33 его порядка п(а нулевому ряду НОРМИРОВАНИЕ фото №34 ) продолжается до Н. с группой значений НОРМИРОВАНИЕ фото №35 (аддитивная группа целых чисел) и кольцом Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №36 . Ассоциированная точка сопоставляет ряду НОРМИРОВАНИЕ фото №37 свободный член НОРМИРОВАНИЕ фото №38 .

Н. со значениями в группе НОРМИРОВАНИЕ фото №39 наз. дискретным; о их кольцах Н. см. Дискретного нормирования кольцо. Описание всех Н. поля рациональных чисел см. в [4].

Для любой линейно упорядоченной абелевой группы Г существует Н. некоторого поля, группа значений к-рого изоморфна Г.

Идеалы колец нормирования. Множество идеалов кольца Н. линейно упорядочено относительно включения, любой идеал конечного типа- главный, т. е. кольцо Н. является Везу кольцом. Более полно описание строения идеалов кольца Н. можно дать в терминах группы значений Н.

Подмножество Млинейно упорядоченного множества наз. мажорным (или м. и НОРМИРОВАНИЕ фото №40 следует, что НОРМИРОВАНИЕ фото №41 . Пусть А- кольцо Н. vполя Кс группой значений НОРМИРОВАНИЕ фото №42 - подполугруппа положительных элементов Г и М- мажорное множество в НОРМИРОВАНИЕ фото №43 . Отображение НОРМИРОВАНИЕ фото №44 НОРМИРОВАНИЕ фото №45 является биективным (взаимно однозначным) отображением множества мажорных подмножеств из НОРМИРОВАНИЕ фото №46 на множество идеалов кольца А. При этом главным идеалам соответствуют мажоры, обладающие минимальным элементом. Простым идеалам тоже соответствуют мажоры специального вида, а именно: мажоры вида НОРМИРОВАНИЕ фото №47 где НОРМИРОВАНИЕ фото №48 - положительная часть нек-рой выпуклой подгруппы Нгруппы Г. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между простыми идеалами А и выпуклыми подгруппами группы значений Г.

Пусть р- простой идеал, соответствующий выпуклой подгруппе H, тогда композиция отображений НОРМИРОВАНИЕ фото №49 будет Н. поля Кс кольцом Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №50 и идеалом Н. рА _р;кроме того, на поле НОРМИРОВАНИЕ фото №51 индуцируется Н. со значениями в группе Ни кольцом Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №52 . Тем самым Н. расщепляется на более простые. Пусть А- кольцо Н., тогда простой спектр Абез нуля (Spec А-(0)) является линейно упорядоченным множеством и его тип наз. высотой, или рангом, соответствующего Н. Если Spec Аконечен, то высота Н. есть число элементов в Spec А-(0), и это число совпадает с числом выпуклых подгрупп группы Г, отличных от самой Г. Н. конечного ранга сводятся к Н. ранга 1. Последние характеризуются тем, что их группа значений - архимедова группа, т. е. изоморфна нек-рой подгруппе аддитивной группы НОРМИРОВАНИЕ фото №53 действительных чисел. В этом случае отображение НОРМИРОВАНИЕ фото №54 является ультраметрическим абсолютным значением поля К,

Важное свойство колец Н.- целозамкнутость. Более того, для произвольного целостного кольца Аего целое замыкание равно пересечению всех колец Н., содержащих А. Кольцо Н. вполне целозамкнуто тогда и только тогда, когда его Н. вещественное, т. е. имеет ранг 1. Кольцо Н. нётерово тогда и только тогда, когда Н. дискретно.

Связь нормирования и топологии. Пусть НОРМИРОВАНИЕ фото №55 Н. поля Kи НОРМИРОВАНИЕ фото №56 где НОРМИРОВАНИЕ фото №57 Совокупность всех НОРМИРОВАНИЕ фото №58 , образует фундаментальную систему окрестностей нуля топологии НОРМИРОВАНИЕ фото №59 поля К, называемой топологией, определяемо й нормированием V. Топология НОРМИРОВАНИЕ фото №60 отделима и несвязна. Топология, индуцируемая НОРМИРОВАНИЕ фото №61 на кольце А, как правило, отлична от топологии локального кольца. Для нетривиального Н. поля Ктопология НОРМИРОВАНИЕ фото №62 локально компактна тогда и только тогда, когда Н. vдискретно, кольцо Н. полное, а поле вычетов Н. vконечно; кольцо Апри этом будет компактно. Пополнение НОРМИРОВАНИЕ фото №63 поля Котносительно топологии НОРМИРОВАНИЕ фото №64 является полем; Н. vпродолжается по непрерывности до Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №65 и топология НОРМИРОВАНИЕ фото №66 совпадает с НОРМИРОВАНИЕ фото №67 . Кольцо НОРМИРОВАНИЕ фото №68 нормирования vявляется пополнением кольца Анормирования v.

Нормирования НОРМИРОВАНИЕ фото №69 и НОРМИРОВАНИЕ фото №70 поля Кназ. независимым и, если топологии НОРМИРОВАНИЕ фото №71 и НОРМИРОВАНИЕ фото №72 различны; это эквивалентно тому, что кольца нормирований НОРМИРОВАНИЕ фото №73 и . НОРМИРОВАНИЕ фото №74 порождают поле К. Неэквивалентные нормирования высоты 1 всегда независимы. Имеет место теорема аппроксимации для нормирований: пусть НОРМИРОВАНИЕ фото №75 - независимые нормирования, НОРМИРОВАНИЕ фото №76 тогда найдется такой элемент хполя К, что для всех .

Продолжения нормирований. Если НОРМИРОВАНИЕ фото №79 - Н. поля L, а К- подполе L, то ограничение НОРМИРОВАНИЕ фото №80 нормирования НОРМИРОВАНИЕ фото №81 на поле Кявляется Н. поля К, а его группа значений Г - подгруппой группы НОРМИРОВАНИЕ фото №82 наз. при этом продолжением Н. v. Обратно, если v- Н., a L расширение поля К, то всегда существует Н. поля L, продолжающее v. Индекс НОРМИРОВАНИЕ фото №83 подгруппы Г в группе НОРМИРОВАНИЕ фото №84 наз. индексом ветвления Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №85 относительно vи обозначается НОРМИРОВАНИЕ фото №86 Поле вычетов НОРМИРОВАНИЕ фото №87 нормирования vотождествляется с подполем поля вычетов НОРМИРОВАНИЕ фото №88 степень расширения НОРМИРОВАНИЕ фото №89 обозначается НОРМИРОВАНИЕ фото №90 и наз. степенью вычетов Н. НОРМИРОВАНИЕ фото №91 относительно v. Продолжение НОРМИРОВАНИЕ фото №92 нормирования vназ. непосредственным, если НОРМИРОВАНИЕ фото №93

Пусть L - расширение поля НОРМИРОВАНИЕ фото №94 - множество всех продолжений Н. v на L. Если L - конечное расширение поля Кстепени п, то множество всех продолжений vконечно, и

НОРМИРОВАНИЕ фото №95

В ряде случаев это неравенство можно заменить на равенство, напр, когда НОРМИРОВАНИЕ фото №96 дискретно и либо Кполно, либо Lсепарабельно над К. Если L- нормальное расширение К, то продолжения НОРМИРОВАНИЕ фото №97 на Lпереводятся друг в друга K-автоморфизмами L, в частности если L- радикальное расширение К, то НОРМИРОВАНИЕ фото №98 имеет единственное продолжение. В случае произвольного бесконечного расширения НОРМИРОВАНИЕ фото №99 или продолжения НОРМИРОВАНИЕ фото №100 нормирования vстепень трансцендентности Lнад Кбольше или равна сумме НОРМИРОВАНИЕ фото №101 где НОРМИРОВАНИЕ фото №102 - степень трансцендентности расширения поля вычетов НОРМИРОВАНИЕ фото №103 над полем вычетов НОРМИРОВАНИЕ фото №104 - размерность пространства НОРМИРОВАНИЕ фото №105

Понятие "Н." ввел и изучил В. Крулль [1]. Это понятие широко используется также в алгебраич. геометрии. Так, в терминах "колец Н." строится абстрактная риманова поверхность поля (см. [3]).

Лит.:[1] Krull W., "J. reine und angew. Math.", 1932, Bd 167, S. 160-96; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [4] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.

В. И. Данилов.

Синонимы:

нормировка, приведение

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

НОРМИРОВАННАЯ АЛГЕБРА →← НОРМЕННЫИ ВЫЧЕТ

НОРМИРОВАНИЕ

Синонимы слова "НОРМИРОВАНИЕ":

Смотреть что такое НОРМИРОВАНИЕ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: