ЕМКОСТЬ

множества - функция множества, возникшая в потенциала теории как аналог физич. понятия электростатич. емкости.

Пусть Sи S*- две гладкие замкнутые гиперповерхности в евклидовом пространстве Rⁿ, ЕМКОСТЬ фото №1 причем S* о. ватывает S. Такую систему наз. конденсатором (S, S*). Пусть и(х)- гармонич. функция в силастн Dмежду Sи S*, принимающая значения 1 па Sи 0 на S*. Емкостью конденсатора С(S, S* )наз. число

ЕМКОСТЬ фото №2

где s_n=2p^n/2/Г(n/2) - площадь единичной сферы в Rⁿ, ди/дп- производная - по. направлению внешней нормали к любой промежуточной гиперповерхности

S', лежащей между Sи S* и охватывающей S, ds-элемент площади S', dw- элемент объема. Иначе Е. конденсатора С(S, S* )можно определить как нижнюю грань интегралов

ЕМКОСТЬ фото №3

в классе всех непрерывно дифференцируемых в Dфункций v(x), к-рые на Sи S* принимают значения, соответственно, 1 и 0. Если гиперповерхность S*=S(0, R)есть сфера достаточно большого радиуса Rс центром в начале координат, то, переходя в (1) к пределу при ЕМКОСТЬ фото №4 получают емкость компакта К, ограниченного гиперповерхностью S, называемую также гармонической емкостью К, или ньютоновой емкостью К:

ЕМКОСТЬ фото №5

при этом ЕМКОСТЬ фото №6 Е.С(К)есть аналог электростатич. Е. уединенного проводника К.

В случае плоскости R² конденсатор (L, L* )есть система двух гладких замкнутых непересекающихся простых кривых Lи L*, причем L* охватывает L. Пусть и(х)- гармонич. функция в области Dмежду Lи L*, принимающая значения 1 на L и 0 на L*. Емкостью конденсатора C(L, L* )наз. число

ЕМКОСТЬ фото №7

где ds- элемент длины дуги линии L', лежащей между Lи L* и охватывающей L. Пусть кривая L* = S(0, R )есть окружность достаточно большого радиуса Rс центром в начале, тогда предельный переход при ЕМКОСТЬ фото №8 в формуле

ЕМКОСТЬ фото №9

дает винеровскую емкость, или постоянную Робена, компакта К, ограниченного линией L;винеровская Е. может принимать любые значения, ЕМКОСТЬ фото №10 Чаще используется логарифмическая емкость, называемая также гармонической или конформной:

ЕМКОСТЬ фото №11

к-рая изменяется в пределах ЕМКОСТЬ фото №12

Е. компакта К, ограниченного гиперповерхностью S, при ЕМКОСТЬ фото №13 можно определить и несколько иначе.

Пусть v_K(x)- eмкостный, или равновесный, потенциал этого компакта, т. е. гармоническая всюду вне К, регулярная на бесконечности функция, принимающая на Sзначение 1. Тогда

ЕМКОСТЬ фото №14

где D'- внешность S. Формула (3) показывает, что Е. С(К)есть совокупная положительная мера m(S), распределенная на S и такая, что ньютонов потенциал простого слоя, порождаемый этой мерой, в точности совпадает с емкостным потенциалом v_K(x), т. е.

ЕМКОСТЬ фото №15

Мера m наз. емкостной, или равновесной, мерой.

В классе всех положительных борелевских мер lна Ктаких, что l(K) =m(S) = C(K), емкостная мера m дает минимум интегралу энергии

ЕМКОСТЬ фото №16

Иначе говоря, Е. С(К)можно определить формулой С(K)=1/inf E(l), где нижняя грань берется в классе всех положительных мер X, сосредоточенных на Кп нормированных условием Х(К)=1.

При п = 2, вследствие особого поведения логарифмич. потенциала на бесконечности, вышеуказанное построение емкостного потенциала возможно только для конденсатора, напр, для (L, S(0, R))при помощи Грина функции G(x, у )для внутренности D" окружности S(0, R )в виде

ЕМКОСТЬ фото №17

где емкостный потенциал и _K (х; S(0, R ))совпадает в Dс ранее введенной для конденсатора (L, S(0, R ))гармонич. функцией и(х). Е., определяемая по формулам (5), иногда наз. гриновой емкостью; эта конструкция возможна при любом ЕМКОСТЬ фото №18 Формула

W(K)=i/inf Е (Х), k(K)=1,

при n = 2 дает винеровскую Е. компакта К, так как интеграл энергии

ЕМКОСТЬ фото №19

теперь не всегда положителен.

Емкость произвольного компакта ЕМКОСТЬ фото №20 можно определить при помощи описанного свойства минимума энергии:

ЕМКОСТЬ фото №21

где интегралы Е(X)вычисляются по формуле (4). При п=2 такой путь приводит к определению винеровской емкости произвольного компакта:

ЕМКОСТЬ фото №22

где энергия Е(X)вычисляется по формуле (6). Переход к логарифмич. Е. осуществляется по формуле С(К) =

Равносильный способ состоит в построении емкостного потенциала v_K (х)для произвольного компакта К. При его можно определить как наибольший из потенциалов U_l(x). положительных мер l, сосредоточенных на K и таких, что ЕМКОСТЬ фото №24 Порождающая v_K (х)мера m является емкостной, m(K)=C (К). При n=2 построение емкостного потенциала, как и выше, ведется для конденсатора ( К, S(0, R ))при помощи функции Грина для круга D". Е. компакта С(К)получается далее предельным переходом, как в формуле (2).

Если v_K (х)=0, то С(K) = 0. При n=2 равенства C(К) = 0 и ЕМКОСТЬ фото №25 равносильны. Компакты нулевой Е. играют в теории потенциала ту же роль, что и множества меры нуль в теории интегрирования. Напр., равенство v_K(x)=1 на Кимеет место всюду, за возможным исключением множества точек, принадлежащего нек-рому компакту нулевой Е. Потенциал любой положительной меры, сосредоточенной на компакте Кнулевой Е., неограничен. Более того., для любого компакта Кнулевой Е. существует сосредоточенная на Кположительная мера vтакая, что при ЕМКОСТЬ фото №27 и ЕМКОСТЬ фото №28 при ЕМКОСТЬ фото №29 т. е. любой компакт нулевой Е. является полярным множеством.

Свойства емкостных потенциалов и емкостей компактов: 1) отображения ЕМКОСТЬ фото №30 и ЕМКОСТЬ фото №31 возрастающие, т. е. из включения ЕМКОСТЬ фото №32 вытекает, что всюду ЕМКОСТЬ фото №33 С( К ₁)( К ₂);.2) эти отображения непрерывны справа, т. е. для любого фиксированного и любого е>0 существует открытое множество со такое, что если компакт К' подчинен условиям то всюду v_K'(x)-v_K(x)<e, C(K')-C(K)<e;.3) v_K(x)и С(К), как функции K, сильно субаддитивны, т. е.

ЕМКОСТЬ фото №36

Если G- открытое множество, лежащее в шаре B = B(0, R), то, по определению, E. C(G)=C{B) - -С( В G). Для произвольного множества Евнутренняя E. С (Е)определяется как верхняя грань C(E) = sup С (K) по всем компактам ЕМКОСТЬ фото №38 Внешняя Е. ЕМКОСТЬ фото №39 определяется как нижняя грань ЕМКОСТЬ фото №40 = infC (G)по всем открытым множествам ЕМКОСТЬ фото №41 Множество Еназ. С-и змеримым, если ЕМКОСТЬ фото №42 =С(E)= С (Е). Все борелевские и даже аналитич. множества в Rⁿ являются С-измеримыми. Таким образом, Е. С(Е)представляет собой функцию множества, инвариантную относительно движений, но не являющуюся, однако, аддитивной. Особенно важна характеристика множества Е, даваемая условием, что его Е. С(Е). равна нулю. Во многих вопросах теории потенциала множествами нулевой Е. в определенном смысле можно пренебрегать. Так, напр., справедливо следующее усиление принципа максимума. Пусть w(x)- ограниченная сверху субгармонич. функция в области ЕМКОСТЬ фото №43 пусть неравенство ЕМКОСТЬ фото №44 имеет место для всех точек ЕМКОСТЬ фото №45 за возможным исключением множества Е, С (Е)=0, ЕМКОСТЬ фото №46 Тогда всюду в Gимеем ЕМКОСТЬ фото №47 причем знак равенства хотя бы в одной точке возможен только в случае w(x)=M.

Понятие Е. обобщается в различных направлениях. Исходя из понятия емкостного потенциала и емкостной меры или энергии, теорию Е. строят для неньютоновых потенциалов таких, как бесселевы потенциалы, нелинейные потенциалы, Рисса потенциалы и др. Эти построения позволяют, в частности, варьировать понятие множества нулевой Е. применительно к различным проблемам математич. физики и анализа (см. [6]).

По Г. Шоке (G. Choquet), E. компактов Кв абстрактном отделимом топологич. пространстве Xопределяется аксиоматически как числовая функция множества ЕМКОСТЬ фото №48 удовлетворяющая аксиомам возра стания, непрерывности справа и сильной субаддитивности. Несколько иной подход к теории Е. в абстрактных пространствах Xполучается в рамках общей аксиоматики потенциала теории абстрактной или теории гармонических пространств. В абстрактной теории Е. основной является теорема Шоке, утверждающая, что С-измеримыми являются К- аналитические множества, т. е. непрерывные образы множеств типа К _sd из нек-рого компактного пространства.

Вообще, в различных задачах теории функций, связанных главным образом с аппроксимацией в определенных классах функций, весьма полезным оказалось введение своих специфич. понятий Е. Так, напр., большое значение в вопросах приближения аналитич. функциями имеет понятие аналитической емкости. Пусть К - компакт на комплексной плоскости z,

f(z)- аналитич. функция вне К, ЕМКОСТЬ фото №49 ЕМКОСТЬ фото №50 аналитической Е. g(К)наз. число

ЕМКОСТЬ фото №51

где L'- контур, охватывающий К, и верхняя грань берется по всем f(z), удовлетворяющим выписанным условиям.

Лит.:[1]Ландкоф Н. С, Основы современной теории потенциала, М., 1966; [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [3] Полна Г., Сёге Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, [пер. с англ.], М., 1962; [4] Вrеlоt M., Lectures on potential theory, Bombay, 1960; [5] Деллашери К., Емкости и случайные процессы, пер. с франц., М., 1975; [6] Карлесон Л., Избранные проблемы теории исключительных множеств, пер. с англ., М., 1971; [7] Витушкин А. Г., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 5-12.

Е. Д. Со.

Синонимы:

акратофор, амбар, амбараотстойник, бак, баклага, баллон, бидон, бочка, братина, бурак, бутылка, варяк, ведро, вместилище, вместимость, вместительность, гидроемкость, гидропульт, глубина, грузоемкость, дежа, диссольвер, жбан, зумпф, кабелеемкость, кадка, канистра, кашло, кег, кеги, кокор, кокотница, корыто, котел, криоемкость, ловушка, лоток, медница, микрофон, мусоросборник, насып, нефтеемкость, отстойник, параша, пароемкость, пневмоемкость, полнота, поместительность, резервуар, сборник, содержательность, сосуд, таз, танк, укладистость, уместительность, урна, фиал, фляга, цистерна, яндова, ёмкость, емкость

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

ЕРМАКОВА ПРИЗНАК →← ЕМКОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

ЕМКОСТЬ

Синонимы слова "ЕМКОСТЬ":

Смотреть что такое ЕМКОСТЬ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: